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能否從數學的角度推導出此公式，以使傅里葉級數來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢？下面來詳細解釋一下此公式的得出過程：

１、把一個周期函數表示成三角級數：

　　首先，周期函數是客觀世界中周期運動的數學表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動、單擺振動、無線電電子振蕩器的電子振蕩等，大多可以表述為：

　　這里表示時間，表示振幅，為角頻率，為初相（與考察時設置原點位置有關，可以理解為一個常量）。

　　然而，世界上許多周期信號并非正弦函數那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用一系列的三角函數之和來表示那個較復雜的周期函數呢？因為正弦函數sin可以說是最簡單的周期函數了。于是，傅里葉寫出下式：（關于傅里葉推導純屬猜想、已經有知乎的網友指出是解熱方程和弦振動導出的，有機會找找相關資料）

　　這里，t是變量，其他都是常數。與上面最簡單的正弦周期函數相比，5式中多了一個n，且n從1到無窮大。這里f(t)是已知函數，也就是需要分解的原周期函數。從公式5來看，傅里葉是想把一個周期函數表示成許多正弦函數的線性疊加，這許許多多的正弦函數有著不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或說是頻率（是原周期函數的整數倍，即n）、有不同的初相角（即），當然還有一項常數項（即）。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數。

這里強調一下，傅里葉級數中對不同頻率的波有一個要求就是給定一個初始的頻率,之后的角頻率必須是的整數倍， 這就是DTF（離散傅里葉變化）中的角頻率取值的原則。

應該說，傅里葉是一個天才，想得那么復雜。一般人不太會把一個簡單的周期函數弄成這么一個復雜的表示式。但傅里葉認為，式子右邊一大堆的函數，其實都是最簡單的正弦函數，有利于后續的分析和計算。當然，這個式能否成立，關鍵是級數中的每一項都有一個未知系數，如A0、An等，如果能把這些系數求出來，那么5式就可以成立。當然在5式中，唯一已知的就是原周期函數f(t),那么只需用已知函數f(t)來表達出各項系數，上式就可以成立，也能計算了。

因為是個常數，也是常數。解過常微分方程的人都知道，方程中的常數能整合到一起就整合到一起。

于是乎，傅里葉首先對式5作如下變形：

這個變化并不陌生，源自于三角公式：

式中，藍色項即為我們需要合并的常數項，

記：，

這樣，公式{5}就可以寫成如下公式{6}的形式：

到了這一步我們只要解出、、的值即可。

2、麥克勞林公式中的待定系數法：

這里為解出、、值奠定下思路：

泰勒級數即為任意一個函數都可以用一個多項式來逼近，記為：

那么，麥克勞林令：

在每個等式中令x=0,然后使用待定系數法就可以解出A,B,C...的值

即：

而眾所周知三角函數在一個周期內的積分為0，如圖

我們只要對(6)左右進行積分后即可求出的值，然后依次代入即可解出、使用表達的公式。

3、三角函數的正交性：

　　這是為下一步傅里葉級數展開時所用積分的準備知識。一個三角函數系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果這一堆函數（包括常數1）中任何兩個不同函數的乘積在區間[-π, π]上的積分等于零，就說三角函數系在區間[-π, π]上正交，即有如下式子：

　　以上各式在區間[-π, π]的定積分均為0，第１第２式可視為三角函數cos和sin與１相乘的積分；第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等于n，否則就不屬于“三角函數系中任意兩個不同函數”的定義了，變成同一函數的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時也是二個不同函數。下面通過計算第4式的定積分來驗證其正確性，第4式中二函數相乘可以寫成：

當時，有：

可見在指定[-π, π]的區間里，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗證。

4、函數展開成傅里葉級數：

　　先把傅里葉級數表示為下式，即⑥式：

　　對⑥式從[-π, π]積分，得：

解出：

這就求得了第一個系數的表達式，即最上邊傅里葉級數公式里的(2)式。接下來再求和的表達式。用乘{6}式的二邊得：

然后對上式從到逐項積分：

　　根據三角函數系的正交性，紅色積分為0，藍色項中僅當時積分不為0，其余項積分為0，所以有：

解得：

同理用乘{6}式的二邊得：

我們發現的分母為而為,為了統一分母我們令有：

(6)變形為：

推導的時候假設,代入即可得到(2)、(3)、(4)

至此，已經求得傅里葉級數中各系數的表達式，當然這里有個條件：積分存在，這里涉及到勒貝格可積的問題，因為離散傅里葉變化涉及到周期內有無限個可去間斷點的問題，狄利克雷條件僅僅是個充分條件，一個函數有傅里葉級數但是它也存在無限個間斷點以及極大值極小值比如方波信號。

至于勒貝格可積有空另開篇文章進行證明。

綜上，傅里葉級數的產生過程可以分為以下三步：

1、設想可以把一個周期函數f(t)通過最簡單的一系列正弦函數來表示，即5式；

2、通過變形后用三角級數（含sin和cos）來表示；

3、通過積分，把各未知系數用f(t)的積分式來表達；

4、最后得到的4個表達式就是傅里葉級數公式。

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規律的在幕布前表演，卻無法預測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數……

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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