(1 本文約2000字，大約需要閱讀20分鐘)(2 本文適合有一定雷達(dá)及信號與系統(tǒng)知識基礎(chǔ)的讀者)

鄉(xiāng)親們大家好，今天的這期內(nèi)容就像有錢人的生活，比較枯燥，不過能完整讀下來也確能有所收獲，本文是分析微多普勒的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，或者說研究微多普勒的必備數(shù)學(xué)工具，為后續(xù)聊微多普勒做鋪墊，也是就是(如何做好一款4D 高分辨毫米波雷達(dá))中的Micro Doppler部分，咱們開始。

Preliminaries

剛體是指在運(yùn)動(dòng)中受力作用后，形狀和大小不變，而且內(nèi)部各點(diǎn)的相對位置不變的物體。剛體是理想模型，合理的理想化模型有助于簡化復(fù)雜系統(tǒng)分析。分析剛體運(yùn)動(dòng)是后續(xù)非剛體運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)，這是因?yàn)榭梢詫⑷梭w等非剛體運(yùn)動(dòng)視作一系列剛體運(yùn)動(dòng)的組合，從而簡化人體等微多普勒特征分析。一般的，剛體的運(yùn)動(dòng)可以表述為平移和旋轉(zhuǎn)的組合。

為了描述剛體運(yùn)動(dòng)，需要引入局部坐標(biāo)系(xyz)和全局坐標(biāo)系(XYZ)，如圖1所示。其中距離向量R義為全局坐標(biāo)系原點(diǎn)指向局部坐標(biāo)系原點(diǎn)的有向向量。一般局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)定義為剛體的質(zhì)量中心(重心)。

Fig 1 Two coordinate systems: the global system (X, Y, Z) and the local system (x, y, z) used to describe the motion of an object.

一般對于傳統(tǒng)低分辨毫米波雷達(dá)，目標(biāo)通常建模為點(diǎn)目標(biāo)，因而其速度為:

該速度一般是目標(biāo)的平移速度，表征目標(biāo)的宏觀運(yùn)動(dòng)。傳統(tǒng)毫米波雷達(dá)一般不分析微多普勒運(yùn)動(dòng)，主要原因是宏觀運(yùn)動(dòng)并不表達(dá)目標(biāo)微觀運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)信息；而對于高分辨雷達(dá)，目標(biāo)通常建模為擴(kuò)展目標(biāo)，也就是

(表示為目標(biāo)散射點(diǎn)集合(粒子集))，令rk坐標(biāo)系下任意粒子P的位置。該粒子相對于全局坐標(biāo)系的位置(如圖1所示)為R+rk度為，

V由表征平移運(yùn)動(dòng)(宏觀運(yùn)動(dòng))的速度，的是擴(kuò)展目標(biāo)中各粒子的局部運(yùn)動(dòng)(微觀運(yùn)動(dòng))，表示叉乘(不是乘法)，這些微觀運(yùn)動(dòng)正是目標(biāo)微多普勒形成原因。為后續(xù)分析方便，令

也就是說目標(biāo)的在全局坐標(biāo)系的宏觀運(yùn)動(dòng)由多普勒效應(yīng)描述；而同一目標(biāo)在局部坐標(biāo)系中的微觀運(yùn)動(dòng)由微多普勒效應(yīng)(Micro-Doppler Effect)描述。我們進(jìn)一步分析Vmicrodoppler結(jié)構(gòu)，也就需要引入歐拉角(Euler Angles)

Euler Angles

剛體運(yùn)動(dòng)中，繞某個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)由旋轉(zhuǎn)軸及旋轉(zhuǎn)角度確定，并且角速度與旋轉(zhuǎn)軸同向。(In a rigid body, the rotation about an axis can be described by the rotation axis and the rotation angle using a vector of angular velocity. The direction of the vector is along the rotation axis.)

Fig 2 Rotation Illustration

旋轉(zhuǎn)的三個(gè)角度定義為歐拉角，給定一組旋轉(zhuǎn)次序，歐拉角是描述改組次序下旋轉(zhuǎn)(內(nèi)旋)的有利工具。一個(gè)典型的旋轉(zhuǎn)例子如圖3所示，變換步驟為Step1，Step2,，Step3。

Fig 3 Euler angles commonly used to represent three successive rotations

假設(shè)boresight是x軸，對于旋轉(zhuǎn)次序存在一些慣例，比如roll-pitch-yaw ?convention，也就是旋轉(zhuǎn)軸依次是x軸，y軸，z軸。對于給定的旋轉(zhuǎn)次序，結(jié)合三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，就可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣，該矩陣是計(jì)算剛體旋轉(zhuǎn)的有利工具。對于roll-pitch-yaw or x-y-z sequence，第1步是以x軸 x=[1 0 0]為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為

第2步是以y軸為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)theta，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為

第3步是以z軸為旋轉(zhuǎn)軸psi，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為

因此，roll-pitch-yawconvention 條件下的rotation matrix為

結(jié)合的分析，我們進(jìn)一步提煉變換矩陣所具有的一般性特征，

對于構(gòu)建，需要滿足的一般條件為

這意味著旋轉(zhuǎn)矩陣的三個(gè)列向量是正交的(orthonormal)

Discussions

1)?????歐拉角及其rotation matrix應(yīng)用舉例(拋磚引玉)

1 是坐標(biāo)系不動(dòng)，目標(biāo)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(微多普勒分析)

如前所述，剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(先不考慮其他運(yùn)動(dòng)，且局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系共原點(diǎn))，那么剛體上任意位置處的粒子k的由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)刻t的位置為? 為t-1時(shí)刻粒子k的位置。

2 全局坐標(biāo)系不動(dòng) ，局部坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)(即旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系)(RCS分析，車輛坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換)

Fig 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換

2) 對于1，我們思考旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系的速度向量(矢量)怎么求，本質(zhì)上就是旋轉(zhuǎn)角速度叉乘原點(diǎn)坐標(biāo)，；另一方面，由于計(jì)算速度向量也可以理解為矩陣變換，也就是，本質(zhì)上就是將矩陣化為，從而將叉乘轉(zhuǎn)化為點(diǎn)積，我們進(jìn)一步來考察矩陣的結(jié)構(gòu)，它其實(shí)具有反對稱矩陣結(jié)構(gòu)，這個(gè)以后會(huì)聊。

3) 與歐拉角的關(guān)系，可以這么理解，也可以表示為關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的三個(gè)變換(旋轉(zhuǎn))矩陣之積，而旋轉(zhuǎn)矩陣又是歐拉角的函數(shù)。

References

[1] Chen, Victor C. The Micro-dopplereffect in radar[M]. Artech House, 2011.

【本文圖片來自公開技術(shù)資料】----------------------------End---------------------------推薦閱讀

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的旋转矩阵求旋转角度_（加餐）欧拉角及矩阵旋转的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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