設(shè) $(X,d_X)$ 是度量空間,并設(shè) $(Y,d_Y)$ 是另一個(gè)度量空間.設(shè) $f:X\to Y$是函數(shù),那么 $f$ 是連續(xù)的可以推出 (c)只要 $V$ 是 $Y$ 中的開集,集合 $f^{-1}(V):=\{x\in X:f(x)\in V\}$ 就 是 $X$ 中的開集. ? \begin{proof} 為了證明 $f^{-1}(V)$ 是開集,我們只用證明對(duì)于 $f^{-1}(V)$ 中的任意一個(gè) 點(diǎn) $x_0$ 來說,當(dāng)正實(shí)數(shù) $\delta$ 足夠小時(shí),$B_{(X,d)}(x_0,\delta)\bigcap f^{-1}(V)$ 中的所有點(diǎn)在經(jīng)過 $f$ 作用后都在 $V$ 中.由于 $f(x_0)\in V$,且 $V$ 是開集,且 $f$ 連續(xù),因此這是可以辦到的. \end{proof} (d)只要 $F$ 是 $Y$ 中的閉集,集合 $f^{-1}(F):=\{x\in X:f(x)\in F\}$ 就是 $X$ 中的閉集. ? \begin{proof} 即證明集合 $f^{-1}(F)$ 中的任意一個(gè)柯西列 $$ a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots $$ 都收斂到 $f^{-1}(F)$ 中.如果該柯西列收斂到 $X$ 中的一個(gè)元素 $a$,則顯 然$a\in f^{-1}(F)$(為什么?提示:$F$ 是 $Y$ 中的閉集).如果該柯西列不收斂 到$X$ 中的元素,則不予討論(因?yàn)槭窍薅ㄔ?$X$ 中討論命題).綜上,$f^{-1}(F)$ 是 $X$ 中的閉集. \end{proof}

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總結(jié)

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