GCD（get Greatest Common Divisor）獲得最大公約數(shù)的方法。

輾轉(zhuǎn)相除法

輾轉(zhuǎn)相除法， 又名歐幾里得算法，該算法的目的是求出兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。它是已知最古老的算法， 其產(chǎn)生時(shí)間可追溯至公元前 300 年前。

定理：兩個(gè)正整數(shù) a 和 b (a>b)，它們的最大公約數(shù)等于a除以 b的余數(shù) c 和 b 之間的最大公約數(shù)。

例如：求10 和 25的最大公約數(shù)，可以先求25除以10商2余5，那么10和25的最大公約數(shù)，等同于10和5的最大公約數(shù)，依次類(lèi)推。

代碼實(shí)現(xiàn)：

//迭代，輾轉(zhuǎn)相除法 public static int gcd(int a, int b) {//判斷a和b誰(shuí)大if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}int sum = a % b;while (sum != 0) {a = b;b = sum;sum = a % b;}return b; }//遞歸，輾轉(zhuǎn)相除法 public static int gcd2(int a, int b) {if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}if (a % b == 0) {return b;}return gcd2(b, a % b); }

更相減損術(shù)

更相減損術(shù)也是一種求最大公約數(shù)的算法。

原理：兩個(gè)正整數(shù)a和b(a>b)，它們的最大公約數(shù)等于 a-b 的減值c和較小數(shù)b的最大公約數(shù)。

例如：求10 和 25的最大公約數(shù)，可以先求25減10的差是15，那么10和25的最大公約數(shù)，等同于10和15的差，依次類(lèi)推。

代碼實(shí)現(xiàn)：

//迭代，更相減損術(shù) public static int gcd3(int a, int b) {if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}int sum = a - b;while (sum != 0) {a = b;b = sum;sum = a - b;}return b; }//遞歸，更相減損術(shù) public static int gcd4(int a, int b) {if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}if (a - b == 0) {return b;}return gcd4(b, a - b); }

位運(yùn)算優(yōu)化

a和b的4種情況分析：

當(dāng)a和b均為偶數(shù)時(shí)，gcd(a,b) = 2 * gcd(a / 2 , b / 2) = 2 * gcd(a >> 1, b >> 1)；

當(dāng)a為偶數(shù)，b為奇數(shù)時(shí)，gcd(a, b) = gcd(a / 2, b) = gcd(a >> 1, b)；

當(dāng)a為奇數(shù)，b為偶數(shù)時(shí)，gcd(a, b) = gcd(a, b / 2) = gcd(a, b >> 1)；

當(dāng)a和b均為奇數(shù)時(shí)，先用更相減損術(shù)運(yùn)算一次，gcd(a, b) = gcd(b, a - b)，這時(shí) a - b一定是偶數(shù)，然后就可以繼續(xù)使用位運(yùn)算。

例如：求10和25的最大公約數(shù)步驟如下。

• 整數(shù)10通過(guò)移位，可以轉(zhuǎn)換成求5和25的最大公約數(shù)。
• 利用更相減損術(shù)，計(jì)算出25?5=20，轉(zhuǎn)換成求5和20的最大公約數(shù)。
• 整數(shù) 20通過(guò)移位，可以轉(zhuǎn)換成求5和10的最大公約數(shù)。
• 整數(shù) 10通過(guò)移位，可以轉(zhuǎn)換成求5和5的最大公約數(shù)。
• 利用更相減損術(shù)，因?yàn)閮蓴?shù)相等，所以最大公約數(shù)是 5。

代碼實(shí)現(xiàn)：

public static int gcd5(int a, int b) {//a,b相等直接返回if (a == b) {return b;}//四種情況if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {// a,b都為偶數(shù)return gcd5(a >>> 1, b >>> 1) << 1;// 等價(jià)于 gcd5(a/2,b/2)*2} else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 1) {// a為偶數(shù),b為奇數(shù)return gcd5(a >>> 1, b);} else if ((a & 1) == 1 && (b & 1) == 0) {// a為奇數(shù),b為偶數(shù)return gcd5(a, b >>> 1);} else {//都為奇數(shù)//進(jìn)行一次更相減損術(shù),求絕對(duì)值return gcd5(b, Math.abs(a - b));} }

時(shí)間復(fù)雜度分析

• 暴力枚舉法：時(shí)間復(fù)雜度是 O(min(a,b))。
• 輾轉(zhuǎn)相除法：時(shí)間復(fù)雜度不太好計(jì)算，可以近似為 O(log(max(a,b)))，但是取模運(yùn)算性能較差。
• 更相減損術(shù)：避免了取模運(yùn)算，但是算法性能不穩(wěn)定，最壞時(shí)間復(fù)雜度為 O(max(a,b))。
• 更相減損術(shù)與移位相結(jié)合：不但避免了取模運(yùn)算，而且算法性能穩(wěn)定，時(shí)間復(fù)雜度為 O(log(max(a,b)))。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的GCD算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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