多目標優(yōu)化

一般可以寫為

帕累托最優(yōu)

定義

帕累托最優(yōu)（Pareto Optimality），也稱為帕累托效率（Pareto efficiency），是指資源分配的一種理想狀態(tài)，假定固有的一群人和可分配的資源，從一種分配狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化中，在沒有使任何人境況變壞的前提下，使得至少一個人變得更好，這就是帕累托改進或帕累托最優(yōu)化。

參考文獻

概念

1：解A優(yōu)于解B（解A強帕累托支配解B）

假設(shè)現(xiàn)在有兩個目標函數(shù)，解A對應(yīng)的目標函數(shù)值都比解B對應(yīng)的目標函數(shù)值好，則稱解A比解B優(yōu)越，也可以叫做解A強帕累托支配解B。
下圖中代表的是兩個目標的的解的情況，橫縱坐標表示兩個目標函數(shù)值，E點表示的解所對應(yīng)的兩個目標函數(shù)值都小于C，D兩個點表示的解所對應(yīng)的兩個目標函數(shù)值，所以解E優(yōu)于解C,D.

2：解A無差別于解B（解A能帕累托支配解B）

同樣假設(shè)兩個目標函數(shù)，解A對應(yīng)的一個目標函數(shù)值優(yōu)于解B對應(yīng)的一個目標函數(shù)值，但是解A對應(yīng)的另一個目標函數(shù)值要差于解B對應(yīng)的一個目標函數(shù)值，則稱解A無差別于解B，也叫作解A能帕累托支配解B，舉個例子，還是上面的圖，點C和點D就是這種情況，C點在第一個目標函數(shù)的值比D小，在第二個函數(shù)的值比D大。

3：最優(yōu)解（基本不存在）

假設(shè)在設(shè)計空間中，解A對應(yīng)的目標函數(shù)值優(yōu)越其他任何解，則稱解A為最優(yōu)解，舉個例子，下圖的 x_{1} 就是兩個目標函數(shù)的最優(yōu)解，使兩個目標函數(shù)同時達到最小，但是前面也說過，實際生活中這種解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最優(yōu)解

4：帕累托最優(yōu)解

同樣假設(shè)兩個目標函數(shù)，對于解A而言，在變量空間 中找不到其他的解能夠優(yōu)于解A（注意這里的優(yōu)于一定要兩個目標函數(shù)值都優(yōu)于A對應(yīng)的函數(shù)值），那么解A就是帕累托最優(yōu)解，舉個例子，下圖中應(yīng)該找不到比 x_{1} 對應(yīng)的目標函數(shù)都小的解了吧，即找不到一個解優(yōu)于 x_{1} 了，同理也找不到比 x_{2} 更優(yōu)的解了，所以這兩個解都是帕累托最優(yōu)解，實際上， x_{1},x_{2} 這個范圍的解都是帕累托最優(yōu)解，不信自己慢慢想。因此對于多目標優(yōu)化問題而言，帕累托最優(yōu)解只是問題的一個可接受解，一般都存在多個帕累托最優(yōu)解，這個時候就需要人們自己決策了。

5：帕累托最優(yōu)前沿

還是看剛才那張圖 ，如下圖所示，更好的理解一下帕累托最優(yōu)解，實心點表示的解都是帕累托最優(yōu)解，所有的帕累托最優(yōu)解構(gòu)成帕累托最優(yōu)解集，這些解經(jīng)目標函數(shù)映射構(gòu)成了該問題的Pareto最優(yōu)前沿或Pareto前沿面，說人話，即帕累托最優(yōu)解對應(yīng)的目標函數(shù)值就是帕累托最優(yōu)前沿。
對于兩個目標的問題，其Pareto最優(yōu)前沿通常是條線。而對于多個目標，其Pareto最優(yōu)前沿通常是一個超曲面。

參考文獻

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化——帕累托最优的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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