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0引言

還記得在〖金融工程高度概覽〗里的那幅高度濃縮的框架圖嗎？這里給出更新的版本，新添加了「日期生成」的模塊。

整個流程圖分為 7 大模塊，除了開始的「數(shù)據(jù)參數(shù)」模塊，后 6 個模塊都有相對應的函數(shù)。

?

????模塊一：數(shù)據(jù)參數(shù)

????模塊二：日期生成?(生成函數(shù) D)

????模塊三：變量計算 (獲取函數(shù) I)

????模塊四：曲線構建 (拔靴函數(shù) B)

????模塊五：模型校正 (校正函數(shù) C)

????模塊六：產(chǎn)品估值 (估值函數(shù) M)

????模塊七：風險計量 (擾動函數(shù) L)

當時還下里巴人的作詩一首：

?

????數(shù)據(jù)參數(shù)最重要，沒有它們沒有料。

????日期生成累不愛，細節(jié)處理定成敗。

????變量計算貫全場，各步所需用處廣。

????曲線構建排最前，所有產(chǎn)品需折現(xiàn)。

????模型校正剔主觀，優(yōu)化函數(shù)來調(diào)參。

????產(chǎn)品估值有三法，通用一切看蒙卡。

????風險計量重之重，對沖風控用之用。

本篇是金融工程系列的第五篇 (第六篇已經(jīng)寫了)，總體內(nèi)容如下：

弄清量化金融工程十大話題-上

弄清量化金融工程十大話題-下

金融工程高度概覽

日期生成

變量計算

模型校正

曲線構建 - 單曲線環(huán)境

曲線構建 - 多曲線環(huán)境

產(chǎn)品估值理論

產(chǎn)品估值 - 解析法和數(shù)值積分法 (CF)

產(chǎn)品估值 -?偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)

產(chǎn)品估值 -?蒙特卡洛模擬法 (MC)

風險計量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)

風險計量 -?風險價值 (VaR)

風險計量 - 價值調(diào)整 (XVA)

我的天，這個系列寫完又是可以寫書的節(jié)奏，忙死我吧 。

---

言歸正傳，題目里的變量指的是金融市場的基礎市場變量 (fundamental market variable)，之后就簡稱為變量。常見的變量包括

利率 (interest rate)?

匯率 (exchange rate)

價格 (price)

波動率 (volatility)

信用價差 (credit spread)

利率、匯率、價格和信用價差都是時間 T?的函數(shù)，因此這些變量 (用 X 代表)?都是以曲線 (curve) 的形式呈現(xiàn)。

????X(T₁), X(T₂), ..., X(T_n)

波動率是時間 T?和行權價格 K (或者價內(nèi)水平?moneyness) 的函數(shù)，因此波動率都是以平面 (surface) 的形式呈現(xiàn)?！咎乩?#xff1a;掉期波動率是以立體 (cube)?的形式呈現(xiàn)，后面詳細介紹】

? ? σ(T₁, K₁), σ(T₂, K₁), ..., σ(T_n, K₁)

????σ(T₁, K₂),?σ(T₂, K₂), ...,?σ(T_n,?K₂)

????????...

????σ(T₁, K_m),?σ(T₂, K_m), ...,?σ(T_n,?K_m)

在金融市場中，在一些標準時點 (standard tenor) 和 (或) 標準價內(nèi)水平上，每天有各式各樣利率、遠期、信用基差和波動率的市場報價 (market quote)。

但在估值金融產(chǎn)品時，我們需要非標準時點和 (或) 非標準價內(nèi)水平上利率、遠期、信用基差和波動率的值，而本帖的變量計算就是講這個事情。

本帖的目錄如下：

目錄

第一章 - 利率

????1.1 直觀理解

????1.2 真實操作

第二章 - 匯率

????2.1 直觀理解

????2.2 真實操作

第三章 - 價格

? ? 3.1?直觀理解

? ? 3.2 真實操作

第四章 -?信用價差

? ? 4.1 直觀理解

? ? 4.2 真實操作

第五章 - 波動率

? ? 5.1 直觀理解

? ? 5.2 真實操作

第六章 - 插值

? ? 6.1 具體例子

? ? 6.2 插值方式

總結

1利率

1.1

直觀理解

我們把 100 元錢存在銀行里，一年后如果銀行給我們 103 元錢，那么多出的 3 元叫做利息，即 100 元「生」出來的錢。利息除以本金就是利率 （interest rate）。

????利率 = 利息/本金 = 3/100 =?3%

那么這個利率是根據(jù)什么確定的呢？你的本金是錢，而錢 (貨幣)?也是一種商品，也有自身的價格，這個價格就是利率。想想你是不是聽過「利率高了錢就貴了」這類的話。

利率作為錢的價格，其水平是由市場供求關系決定的。此外，利率水平還受其他一些因素影響，比如風險程度、貸款期限、借貸人信用狀況、通脹水平和政治因素等。在全球金融市場聯(lián)通的今天，一國的利率水平還受別的利率水平的影響。

下圖展示了在中國市場上的利率體系。

計算利息的方法有兩種，單利 (simple interest) 和復利 (compounding interest)。

• 單利只在本金上計算利息，所得的利息不再加入本金重新計算利息。比如你存 100 元，年利率是 3%，那么一年之后你得到 103 元 (3 元是利息)，兩年之后得到 106 元?(6 元是利息)

• 復利不光本金要計算利息，本金生出來的利息也要計算利息。比如你存 100 元，年利率是 3%，那么一年之后你得到 103 元 (3 元是利息)，兩年之后得到 106.09 元?(6.09 元是利息)。比單利多出來的 0.09 元是第一年的利息 3 元在第二年也做了本金用來計算利息。
  

Compound interest is the eighth wonder of the world. -- Albert Einstein

利率是資金使用的價格，它的漲跌關系著個人、企業(yè)和政府的錢袋。對個人，當存款利率水平高，老百姓會把收入存儲起來日后再消費 (延遲滿足感 )。對企業(yè)，當貸款利率水平變動，會影響企業(yè)為了經(jīng)營而借錢要支付的利息。

知識點 - 折現(xiàn)當我們把未來的錢折算成今天價值的時候，就需要折現(xiàn)率 (discount rate) 或折現(xiàn)因子?(discount factor)?的概念了。

比如，目前利率是 3%，那么今天的 100 元就相當于明年的 103 元，因為我們可以這 100 元貸出去而明年拿到 103 元。同理，明年 103 元只能相當于現(xiàn)在的 100 元，那么這個 3% 就是折現(xiàn)率。

????100?×?(1+3%) =?103
或者，我們說 1/(1+3%) = 0.97 是折現(xiàn)因子
????103?*?0.97 = 100

不難看出，利率 (折現(xiàn)率) 越高，折現(xiàn)因子越低，因此折現(xiàn)后的收入越低。

折現(xiàn)的方式有兩種，用按年復利 (annually?compounding)?來舉例：

• 單利折現(xiàn)因子 = 1/(1+T×r)

• 復利折現(xiàn)因子?=?1/(1+r)T

其中 r 是年化利率，即一年能享受到的利率，T 是年限，即年的倍數(shù)。如果按半年復利 (semiannually?compounding)?來計算折現(xiàn)因子會有什么變化呢？將利率 r 除以 2，將年限 T 乘以 2。

• 單利折現(xiàn)因子 = 1/(1+2T×r/2)

• 復利折現(xiàn)因子?=?1/(1+r/2)2T

我們發(fā)現(xiàn)單利折現(xiàn)因子不變，但復利折現(xiàn)因子變大了。按季度復利?(quarterly compounding)、按月復利 (monthly compounding)?和按天復利 (daily compounding)?就不寫了，直接跳到連續(xù)復利?(continuously compounding)?的折現(xiàn)因子。

????折現(xiàn)因子 = exp(-r×T)

要推出上面表達式，將?1/(1+r/m)mT?在 m?→?∞?時取極限即得到。

在金融工程里，相比于折現(xiàn)率，我們用連續(xù)復利下的折現(xiàn)因子更多些。

1.2

真實操作

折現(xiàn)因子

折現(xiàn)因子 (discount factor) 就是把「未來 T 時點的現(xiàn)金流折算成 0 時點 的現(xiàn)值」的一個數(shù)。

金融工程里通常用 D(0, T) 或 D(T) 來表示折現(xiàn)因子，它通常在 0-1 之間?，F(xiàn)在一些國家都有負利率，D(T) 也可以大于 1，最終我們有 D(T)?＞0。

下面公式寫出連續(xù)復利下的折現(xiàn)因子 D(T) 和利率 r(T) 之間的關系。

上面假設利率 r(T) 在 0 到 T 之間是常數(shù)，不是隨機的。

零息債價格

在 0 到 T 之間，如果利率 r(t), t ? [0, T]?是一個隨機變量，那么對應的折現(xiàn)因子也是隨機的。這時折現(xiàn)因子 D(T)?和利率 r(t) 之間的關系為

這樣在用折現(xiàn)因子計算產(chǎn)品價值時會得到一個隨機的結果，這不是我們希望看到的。

因此我們需要一個確定的“折現(xiàn)因子”來折現(xiàn)現(xiàn)金流，它就是零息債價格 (zero-coupon bond price, ZCB price)，用 P(0, T) 或 P(T) 來表示，它等于折現(xiàn)因子在「風險中性」測度下的期望。

知識點 -?零息債價格和折現(xiàn)因子零息債是一種金融產(chǎn)品，它在到期日 T 時的支付為 1，即 P(T, T) = 1，現(xiàn)在要計算它的現(xiàn)值 P(0, T)。在風險中性 (risk-neutral) 測度下

上式首尾一看，發(fā)現(xiàn) P(0, T) 是 D(0,T)?在風險中性測度 Q 下的期望。

很多人會把兩者混淆，當利率是常數(shù)或確定時，兩者一樣；當利率是隨機時，兩者不同，零息債價格是折現(xiàn)因子的期望。

到期日并不唯一，因此市場上會有多個零息債價格組成一條曲線。之后我們在構建曲線時說的折現(xiàn)因子，指的都是零息債價格。切記！切記！切記！

零息利率

零息利率 (zero rate) 是到期日為 T 的零息債券在 0 到 T 之間的收益率。

和零息債價格一樣，不同到期日下有不同的零息利率。一般來說，零息利率的曲線比零息債價格的曲線傳達的可視信息會更多些。

• 后者 P(T) 隨著 T 是遞減的
  

• 前者 r(T) 隨著 T 通常遞增，但也可能先增后減

下面兩圖分別說明如何從 P(T) 計算出 r(T)，和從 r(T) 計算出 P(T)。

遠期利率

上節(jié)介紹的利率都是從現(xiàn)在開始的利率，稱即期利率 (spot rate)，而遠期利率 (forward rate) 是隱含在給定的即期利率中從未來的某一時點到另一時點的利率水平。

一個簡單的例子，就是銀行有 1 年和 2 年的定存利率 3% 和 4%，那么我們將 1000 元存一年，到期的收益為

????1000?× (1+3%) = 1030

如果存兩年，到期的收益為

????

????1000?× (1+4%)2= 1081.6

假設你存完一年再繼續(xù)存一年，得到的收益應該和連續(xù)存兩年一樣多。根據(jù)利率的定義 (利息/本金)，計算從一年到兩年這段時期的 (遠期) 利率為

????(1081.6 -?1030)/1030 = 5%

或者用公式

將上式兩邊求倒數(shù)

寫出上式的通用表達式得到

????P(0, 1)?· P(0, 1, 2) = P(0, 2)

其中

• P(0,1) 是在 0 時點觀測到期?1 年的零息債價格

• P(0,2) 是在 0 時點觀測到期 2 年的零息債價格

• P(0,1,2) 是在?0 時點觀測到期 2 年但?1 年后的零息債遠期價格

把 1 年和 2 年用 T 和 T+τ 代替 (τ 可看成是遠期債的期限)，把 0 時點用 t 代替，我們得到一個更為通用的公式。

其中 P(t, T, T+τ) 是在 t 時點觀測的在 [T, T+τ] 一段內(nèi)的零息債遠期價格。再用它推出連續(xù)復利型的遠期利率 y(t, T, T+τ)

但在實際市場報價中，離散型的遠期利率 L(t, T, T+τ) 最常見

這個 L(t, T, T+τ) 就是大名鼎鼎但 2021 年就要消失的 LIBOR，對于不同市場，τ = 1 個月、3 個月、6 個月和 1 年。

用下面一張圖來總結遠期利率 (遠期零息債價格) 之間的關系。

期貨利率

在 Eurodollar 期貨市場上，期貨投資者在到期日 T 可得

????1 - L(T, T, T+τ)

在 0 時點，投資者不需要花費便可進入該期貨，但是在時點 T 要付

????1 - F(0, T, T+τ)

來換取 1 - L(T, T, T+τ)。這里 F(t, T, T+τ) 是 t 時點觀測的在 [T, T+τ] 期間的期貨利率 (futures rate)。

實際上，期貨利率是每天盯市 (mark-to-market) 而結算。對于 ? = 1 天，期貨持有者的現(xiàn)金流為

按著上面的盯市過程至到期日 T，期貨持有者經(jīng)歷的總現(xiàn)金流為

在到期日時遠期利率 L(T, T, T+τ) 必須要等于期貨利率 F(T, T, T+τ)，要不然會有套利機會。

當利率上漲，每天現(xiàn)金流為負，期貨虧錢，投資者需要向交易所付錢結算。雪上加霜的是，融資代價隨著利率上漲變大了。

當利率下跌，每天現(xiàn)金流為正，期貨賺錢，投資者可以再投資盈余的錢。但是，收益率隨著利率下跌變小了。

在盯市過程中，期貨投資者受著「高融資成本」和「低再投資收益」的雙重魔咒，那么它們必須要求合約的期貨利率 (需要每天盯市結算) 要大于遠期利率 (不需要每天盯市結算)。

至于如何計算期貨利率，這個需要建模來計算凸性調(diào)整 (convexity adjustment)，先略去不講。

遠期掉期利率

介紹遠期掉期利率 (forward swap rate) 之前，我們先介紹年金 (annuity)。對于年金，首先又要定義它現(xiàn)金流發(fā)生的期限結構 (tenor structure)。

????0?≤ T_0?< T_1?< ... <?T_N

在時點?T_k 和?T_m 上 (其中 k, m 和 k+m 都在 0 和 N 之間)，定義年金?A_k,m

考慮 T_k?< T_k+1?< ... <?T_k+m?上的固息債 (息率為 c)，它在?T_k 時點的遠期價格為

遠期掉期利率就是這樣的一個息率 (用?S_k,m 表示) ，使得 T_k?時點的遠期價格為 1。

用下面一張圖來總結年金和多個到期日的零息債價格之間的關系。

2匯率

2.1

直觀理解

在國內(nèi)商店買東西，你會很自然的使用人民幣，因為人民幣是中國的法定貨幣。但假如你去美國旅游去買東西，你需要支付美元，因為美元是美國的法定貨幣。那么在出國之前，你需要用人民幣“購買”一些美元，購買 (兌換) 美元的價格就是人民幣兌美元 (CNYUSD) 的匯率 (exchange rate)。

匯率的表示方法有兩種：

直接標價法：1 單位的外幣等于多少單位的本幣。

間接標價法：1 單位的本幣等于多少單位的外幣。

按 2019 年 6 月 27 日的?USDCNY 是 6.88，指 1 美元可以兌換 6.88 人民幣，如果

• 后一天的 USDCNY 是 6.9，匯率漲，1 美元換更多的人民幣，美元升值，人民幣貶值。

• 后一天的 USDCNY 是 6.85，匯率跌，1 美元換更少的人民幣，美元貶值，人民幣升值。

如果說利率是貨幣的絕對價格，那么匯率是兩種貨幣之間的相對價格，它反映了不同貨幣的購買力 (purchasing power)。

匯率 (外幣/本幣) 的升降主要受以下四個因素的影響：

進出口差額：出口是把本國的商品和服務賣給外國，收匯；進口是購買外國的商品和服務，付匯。

• 當出口額大于進口額，出現(xiàn)貿(mào)易順差，外幣需求少供給多而貶值，本幣升值，匯率下跌。

• 當出口額小于進口額，出現(xiàn)貿(mào)易逆差，外幣需求多供給少而升值，本幣貶值，匯率上升。

資本出入差額：道理和進出口差額類似。

• 當資本流入大于流出，出現(xiàn)資本項目順差，外幣需求少供給多而貶值，本幣升值，匯率下跌。

• 當資本流入小于流出，出現(xiàn)資本貿(mào)易逆差，外幣需求多供給少而升值，本幣貶值，匯率上升。

利率差異：導致資本流出流入。

• 當本國利率高于外國利率，會有資本流入，兌換成本幣獲取更高的利息，本幣需求多而升值，外幣貶值，匯率上升。

• 當本國利率低于外國利率，會有資本流出，兌換成外幣獲取更高的利息，外幣需求多而升值，本幣貶值，匯率下跌。

通脹率差異：導致購買力下降上升。

• 當本國通脹率高于外國通脹率，本幣購買力下降而貶值，匯率下跌。

• 當本國通脹率低于外國通脹率，本幣購買力上升而升值，匯率上升。

此外，人們的心理預期也會影響著匯率，比如人民認為某個國家的政局不穩(wěn)而會拋售該國貨幣 (貶值)。政府的干預也會影響著匯率，比如 1985 年美元升值加劇美國貿(mào)易赤字，美國聯(lián)合西方強國達成「廣場協(xié)議」一起拿出 200 億美元投入外匯市場購買日元，結果美元狂跌日元狂漲。

2.2

真實操作

知識點 - 外匯即期在一個外匯即期 (FX spot)，兩個交易對手同意將一筆外幣金額和一筆本幣金額兌換，兌換的匯率是即期匯率 (spot FX rate)，而結算日通常在交易日后兩個工作日 (取決于貨幣對)。

知識點 - 外匯遠期在一個外匯遠期 (FX forward)，兩個交易對手同意將一筆外幣金額和一筆本幣金額兌換，兌換的匯率是遠期匯率 (forward FX rate)，而結算日時雙方同意的一個日期。

在外匯市場，即期匯率每天都有市場報價，如下 10 個貨幣對的即期匯率。

而遠期匯率是我們需要計算的，它的計算方法很簡單，在某個到期日 T，遠期匯率等于即期匯率加上相對應的掉期點 (swap point)。

????F(0, T) = S + sp(T)

其中 S 是即期匯率，F(0, T) 是 T 期限的遠期匯率，sp(T) 是 T 期限的掉期點。掉期點也有市場報價。如下給了 USDJPY 和 EURUSD 的從隔夜 (O/N) 到五年 (5Y) 的掉期點。

但是掉期點不能直接加在即期匯率上，而是先除以一個因子再加，這個因子隨貨幣對而異，USDJPY 的因子是 100，EURUSD 的因子是 10000?，F(xiàn)在假如我們要計算 1Y 的 USDJPY 遠期匯率和 3Y 的 EURUSD 遠期匯率。

????F_USDJPY(0, 1Y) = S_USDJPY+ sp(1Y)

????????????????????????? ? = 107.69 - 31.88/100

????

????F_EURUSD(0, 3Y) = S_EURUSD+ sp(3Y)

????????????????????????????= 1.137 - 148/10000

3價格

3.1

直觀理解

價格 (price) 是一項以貨幣為表現(xiàn)形式，為商品所訂立的價值數(shù)字。前兩節(jié)已經(jīng)討論了利率和匯率，它們把貨幣本身當做商品，因此它們也是特殊的“價格”

• 利率是貨幣的絕對價格 (無單位)

• 匯率是兩個貨幣間的相對價格 (無單位)

對于其他商品，比如股票、商品，那么價格就是用貨幣交換一個單位商品所需的貨幣量多少，比如

• 1 股騰訊股票的價格為 352 港幣 (單位是港幣)

• 1 克純度 99.99 的上海金的價格為 315 人民幣 (單位是人民幣)?

3.2

真實操作

商品的市場報價是不同到期日的商品遠期價格，下圖展示黃金遠期的報價，第一行 Period 是 Spot 對應的報價是黃金的即期價格。

股票的市場報價只有即期價格 (spot price)，它的遠期價格可以由套利關系計算出來 (為了簡便，假設股票沒有支付紅利)。在遠期合約中，一方在未來某一個約定時間點按約定價格像另一方出售約定數(shù)量的股票，那么這個約定價格是多少。

• 考慮遠期合約的賣方，他有義務在到期日 T 向賣方出售股票。他可以在簽訂合約是借入 S(0) 用于購買股票，等待著到期日以約定價格賣給買方，與此同時，他需要支付借錢買股票的本和利息 S(0)?·?erT。如果約定價格少于?S(0)?·?erT，賣方會蒙受損失。

• 考慮遠期合約的買方，他有義務在到期日 T 從賣方購買股票。他可以在簽訂合約是做空賣出 S(0) 得到一筆錢，存在無風險賬戶中，等待著到期日從賣方以約定價格買入股票，與此同時，他享受著本和利息?S(0)?·?erT。如果約定價格高于?S(0)?·?erT，買方會蒙受損失。

綜上所示，約定價格為 S(0)?·?erT，其中 S(0) 是股票即期價格，r 是無風險利率，T 是遠期到期日。將上面結論推廣一下，股票帶紅利率 q 的遠期約定價格為 S(0)?·?e(r-q)T。

4信用價差

4.1

直觀理解

債券 (bond) 和信用違約掉期 (credit default swap, CDS) 是信用市場中的最基礎的產(chǎn)品，兩者都有自己的信用價差 (credit spread)。

債券就不用多解釋了，它的信用價差是用以向投資者補償參照資產(chǎn)違約風險的、高于無風險利率?r_riskless 的利差 s。那么債券的收益率 r_riskless?為

????r_risky(T) =? r_riskless(T) + s(T)

再了解 CDS?的信用價差之前，先了解下 CDS。

知識點信用違約掉期是一種互換合約，其中保護買方?(protection buyer) 從保護賣方?(protection seller) 獲取一份擔保，其擔保是在發(fā)生一件預先定義的信用事件時，保護買方能夠從保護賣方索取因該事件而導致的損失。為此，保護買方必須定期付一筆保費給保護賣方。

CDS 中保護買方付的保費率就是 CDS 的信用價差。?

---

給定一個 3 年到期企業(yè)債券，假設它在的收益率是 (bp = basis point，基點)

????r_riskless?+ 60 bp

那么按理來說，用它做標的的 3 年 CDS 的信用價差也應該是 60 bp。這樣對于 CDS 的保護買方，這個 CDS 可以由一個多頭企業(yè)債券 (有信用風險) 和一個空頭國債 (無信用風險) 來復制。

但在實際市場中，CDS 和 bond 的流動性不一樣，在國外 CDS 流動性大，在國內(nèi)由于 CDS 是新生事物市場深度不夠，bond 流動性大。因此 CDS 和 bond 的信用價差會不一樣，用 bond-CDS basis (基差) 來定義它

????bond-CDS basis = s_CDS?-?s_bond

套利者根據(jù)基差的正負來套利。

• 假如基差為負，s_CDS?小于?s_bond，做多?bond 并當 CDS 的保護買方，從 CDS 支付低的?s_CDS?來領取高的?s_bond。

• 假如基差為正，s_CDS?大于 s_bond，做空?bond 并當 CDS 的保護賣方，從 CDS 領取高的?s_CDS?來支付低的 s_bond。

下節(jié)我們用 CDS 信用價差舉例。

4.2

真實操作

市場上的 CDS 信用價差報價通常涉及 3 個標準期限 - 1Y、5Y 和 10Y。下圖是摩根斯坦利一年里每天的 CDS 信用價差。

從 CDS 信用價差可以用 bootstrapping 的方法推出危險率 (hazard rate) 和違約概率 (probability of default) 等信息。

理論上，危險率是一個違約的條件概率。在一個極短的時間段 ?t，在 t 時刻危險率 λ_t?的定義為：違約發(fā)生在 t 到 t+?t 的條件概率，給定 t 時刻前未發(fā)生任何違約事件。

若 Q(t) 為在 t 時刻的存活概率 (t 時刻前未發(fā)生任何違約事件)，那么根據(jù)定義，

取極限 ?t →?0，解下列微分方程

有了?1Y、5Y 和 10Y 三個 CDS 信用價差的報價，我們可以建立三個 CDS的現(xiàn)值方程，再假設?λ_t 是分段常數(shù)，可以解出?λ_0-1, λ_1-5, λ_5-10 三個危險率值，也可以解出任何點上的存活概率和違約概率。

5波動率

5.1

直觀理解

波動率 (volatility) 是描述價格在一段時間內(nèi)的變化程度，這個價格可以是利率、匯率和其他金融資產(chǎn)的價格。

波動率是對資產(chǎn)收益率不確定性的衡量，因此用于反映金融資產(chǎn)的風險水平。

• 波動率越高，金融資產(chǎn)價格的波動越劇烈，資產(chǎn)收益率的不確定性就越強

• 波動率越低，金融資產(chǎn)價格的波動越平緩，資產(chǎn)收益率的確定性就越強

波動率可以分成三類，實際波動率只是一個概念，歷史波動率從原生資產(chǎn)的時間序列中計算，隱含波動率從衍生品 (期權) 的公式和交易價格反推。

• 實際波動率：實際波動率又稱作未來波動率，它永遠是一個未知數(shù)，或者只是個概念

• 歷史波動率：歷史波動率是指投資回報率在過去一段時間內(nèi)所表現(xiàn)出的波動率，它由標的資產(chǎn)市場價格過去一段時間的歷史數(shù)據(jù)反映。歷史波動率是往后看 (backward looking) 的。

• 隱含波動率：隱含波動率是通過市場交易的期權價格，和 Black-Scholes 公式反解出來的原生資產(chǎn)的波動率。隱含波動率是往前看 (forward looking) 的，可看成為市場實際波動率的預期。

5.2

真實操作

歷史波動率計算加來很簡單，只要根據(jù)價格求出收益，然后求出其標準差即可。本節(jié)我們關注的是隱含波動率，只要一個原生資產(chǎn)有衍生品在市場上交易，我們都應該用其隱含波動率來校正模型或者來估值其他更復雜的產(chǎn)品。

已知市場價格 V 和 BS 公式形式，反推隱含波動率 σ。?

????BS(S, K, T, r, b, σ) = V

=>

????σ?= BS-1(V, S, K, T, r, b)

????

其中 BS-1?是它的反函數(shù)，沒有解析解，通常用數(shù)值解來求 σ。

對利率、外匯、股票、商品和信用期權，市場在標準期限和標準行權價格 (標準價內(nèi)水平) 都有隱含波動率的報價 (除非沒有成交量)。因此不需要我們自己計算。

下圖給出市場報價的利率、外匯、股票、商品隱含波動率平面。

6插值

前面五節(jié)給出各種市場變量的算法以及相對應的市場報價 (有限的標準點上)，但是在對金融產(chǎn)品進行估值時，我們需要在無限的非標準點的市場變量的值，怎么辦？用插值！

具體例子

下面我們來看兩個例子是如何生成零息債價格和波動率的。

零息債價格

?

從期限維度上進行線性內(nèi)插 (linear interpolation) 來獲取零息債價格

波動率

從期權期限和執(zhí)行價格兩個維度上進行線性內(nèi)插 (linear interpolation) 及平外插 (flat extrapolation) 來獲取波動率

插值方式

上面例子都是用分段線性函數(shù)插值，實際上常用的還有分段常函數(shù)、分段三次條函數(shù)等等。

給定 N 數(shù)據(jù)點 (x_i,?f_i), i = 1, 2, …, N，其中?x₁ <?x₂?< ... <?x_N?。我們希望找到一個函數(shù) f(x) 來擬合這 N 個數(shù)據(jù)點，對于分段函數(shù)，因為有 N 個數(shù)據(jù)點，需要 N -1 段函數(shù)。

分段常?(piecewise constant) 函數(shù)

在這種情況，每一段函數(shù)都是一個常數(shù)，這種插值方法

?

• 優(yōu)點是簡單

• 缺點是在數(shù)據(jù)點上不連續(xù)，更不可導

• 適用于在某些模型的參數(shù) (比如 Heston 模型中的均值回歸率和波動率的波動率) 上插值 (模型參數(shù)通常只用常數(shù)和分段常函數(shù)，但后者比前者能更好的擬合市場數(shù)據(jù)，因為它有更多自由度)。

• 不適用于曲線和波動率插值

分段常函數(shù)不連續(xù)，通常稱作?C^-1?函數(shù)。

分段線性?(piecewise linear) 函數(shù)

在這種情況，每一段函數(shù)都是一個線性函數(shù)，這種插值方法

• 優(yōu)點是簡單，在數(shù)據(jù)點上連續(xù)，而且形狀保持性很好 (插出的值只和它相鄰兩個數(shù)據(jù)點有關，別的數(shù)據(jù)怎么動都不影響它的插值)

• 缺點是在數(shù)據(jù)點上不可導

• 適用于曲線和波動率插值

• 不適用于在 Hull-White 模型下的曲線插值 (Hull-White 模型需要對曲線求二階導)

分段線性函數(shù)連續(xù)但是不可導，通常稱作?C^0?函數(shù)。

分段三次樣條?(piecewise cubic spline) 函數(shù)

在這種情況，每一段函數(shù)都是一個三次多項式函數(shù)，這種插值方法

• 優(yōu)點是在數(shù)據(jù)點上可導甚至可導三次 (非常平滑)

• 缺點是有些復雜，而且形狀保持性不好 (插出的值和整個數(shù)據(jù)點有關，別的數(shù)據(jù)動以下都會影響它的插值)

• 適用于曲線的插值

分段三次樣條函數(shù)連續(xù)而且二階可導，通常稱作?C²?函數(shù)。

---

講到這里細心的同學可能會發(fā)現(xiàn)，怎么沒有連續(xù)而且一階可導的?C¹?函數(shù)？有的，它是分段埃爾米特?(piecewise Hermite) 函數(shù)。它和三次樣條函數(shù)一樣，每段都是一個三次多項式函數(shù)，但是在節(jié)點( 數(shù)據(jù)點)上的連接導數(shù)設置有所不同，埃爾米特函數(shù)就只處理了一階導數(shù)。

從分段常函數(shù)到分段線性函到分段三次樣條函數(shù)，內(nèi)插出來的值化成函數(shù)看起來越來越光滑 (可導性越來越好)，但是形狀保持性越來越差 (局部性越來越差)。當我們選擇那種方法插值時，我們需要權衡插出曲線的局部性 (locality) 和可導性 (differentiability)。

下表總結四種內(nèi)插函數(shù)

7總結

了解各種市場變量的計算方法，以及插出非標準點的變量對于之后的曲線構建、模型校正、產(chǎn)品估值、風險計量都至關重要。

在變量計算這一模塊，我們可以設計成一個獲取函數(shù) (Extraction function)，

• 輸入是任意非標準點

• 輸出是該點對應的變量

獲取函數(shù)就是內(nèi)插函數(shù) (interpolation) 和外插函數(shù) (extrapolation)。核心理念就是從市場已有的標準點對應的變量內(nèi)插或外插出非標準點對應的變量。

在實操中，我們會評估不同插值方法的優(yōu)劣，甚至在什么變量上插值，兩個例子：

利率曲線：在對數(shù)折現(xiàn)因子上線性插值和在瞬時遠期利率上平插是一樣的，它們可以大概率的保證沒有負的遠期利率出現(xiàn)。

外匯波動率曲線 delta 維度：在 log(moneyness) 上插值而不是在 delta 上插值。

波動率曲線時間維度：在方差上插值而不是在波動率上插值，前者可以保證遠期波動率為正。

CDS 危險率曲線：在遠期危險率上做平插，可以使得保護端的有解析解，要不然只有數(shù)值解。

在外匯市場，實證分析證明在周末時的波動率沒有非周末時的波動率大，如何處理這種情況？給周末和非周末加權重，比如非周末放 1 周末放 0.2。

內(nèi)插和外插不僅僅只局限于簡單函數(shù)，還有可能是復雜模型，比如 Vanna-Volga 或 SABR。

這些更為細節(jié)的東西就以后寫在書里面吧。hiahia

Stay Tuned！

王的機器

機器學習、金融工程、量化投資的干貨營；快樂硬核的終生學習者。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的『市场基础变量计算』的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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