第五講??中外數學名題趣題欣賞與解析　　?

教學目標與教學指導：

在數學學習過程中，我們可能會遇到一些妙趣橫生的問題。這些問題往往有別于常規。解答起來看似簡單，但是每道題目都有著它的巧妙之處，解決這類問題并沒有典型的解決方法。它需要我們對問題情境做整體的分析、判斷、綜合運用各種思考方法，它更需要我們的機智與靈巧。這些問題就像是智力測驗，或者是趣味題，它們更像是思維的體操。當你走進這些問題時，你就會發現數學其實也很有趣。數學大花園是百花爭艷?！?/span>　

讓我們開啟智慧的大門，放飛我們的奇思妙想吧！　　

例1?英國一本古老的趣味題集里，記載著據說是著名數學家和物理學家牛頓提出的一道題目：九棵樹，栽十行，每行栽三棵，你知道該怎樣栽嗎？　　

【分析與解】按平常的做法，每行栽三棵樹，栽十行應該需要三十棵樹?，F在只有九棵樹，由此可知，至少有些樹是放在幾行的交點，也叫重點。這里給出一種栽法?！　?/span>

例2??三個空瓶可換一瓶汽水，買10瓶汽水，共可喝汽水多少瓶？　　

【分析與解】根據題意，三個空瓶可換一瓶汽水。說明兩個空瓶可以換不帶瓶的一瓶汽水。10瓶汽水喝剩下的10個空瓶，可換5瓶不帶瓶的汽水，所以買10瓶汽水共可喝15瓶汽水?！　?/span>

具體做法是：喝完10瓶汽水后，剩下10個空瓶，再借5個空瓶，15個空瓶可換5瓶汽水，喝完這5瓶汽水，將剩下的5個空瓶還給別人。　　

例3??兩只食量相同的猴子搶一堆桃子吃，吃完后，一只猴子還差1個桃子吃飽，另一只還差5個吃飽。如果這堆桃子都給一只猴子吃，它仍吃不飽，那么一只猴子一共需要多少個桃子才能吃飽？　　

【分析與解】根據題意：一只猴子搶到4個，另一只猴子一個也沒有搶到，所以一共有4個桃子，一只猴子一共需要吃4＋1=5（個）才能吃飽?！　?/span>

試一試：　　

1．要把7棵小樹種成6行，每行有3棵。該怎么種？　　

2．某商店出售啤酒，規定每4個空瓶可以換1瓶啤酒，小明家買了24瓶啤酒，他一家前后最多能喝到多少瓶啤酒？　　

3．小黃和小蘭都想買《科學家的故事》這本書，小黃缺1分錢，小蘭缺4角2分錢；用他們兩人的錢合買一本，錢還是不夠，問這本書的價格是多少？　　

例4??有9顆珍珠，其中有一顆假珍珠，外觀和真的一樣，只是假珍珠比真珍珠輕一點。你能利用天平（不用砝碼）只稱2次，就把假珍珠找出來嗎？　　

【分析與解】把9顆珍珠平分成三堆，取出其中兩堆，分別放在天平兩邊，稱第一次。　　

（1）如果相等，那么假珍珠必在余下的三顆中，取其中的兩顆，分別放在天平兩邊，稱第二次?！　?/span>

A、如果不等，那么輕的一顆是假珍珠。　　

B、如果相等，那么最后余下的一顆是假珍珠。　　

（2）如果兩堆不等，比如第一堆輕，那么假珍珠必在第一堆中，在這一堆中取兩顆，分別放在天平兩邊，稱第二次，與（1）的A、B相同，可找出假珍珠?！　?/span>

另一方面，如果只稱一次，那么兩邊只能各放一顆珠子（否則同一邊的珠子無法分清真假）。但是假珍珠可能在其余7顆中，所以稱一次無法把假珍珠找出來，至少稱兩次可以把假珍珠找出來。　　

例5?有37名戰士要渡河，現在只有1只小船，每船只能載5人，至少需要多少次才能渡完？　　

【分析與解】根據題意，除了最后一次外，每次渡河后必須有人把船劃回來，也就是每次過去5人，回來1人，往返一次只相當于過去了4人，（37－5）÷4×2＋1=17（次）?！　?/span>

例6?有兩個桶，大桶容量9升，小桶容量　4升　，如果想從河中打上　6升　水，那么至少要從河中取水多少次？　　

【分析與解】要充分利用兩只桶，第一次大桶從河中取9升水，倒入小桶　4升　，將小桶水倒掉，再從大桶倒入小桶　4升　水，再將小桶水倒掉，再將大桶剩下的　1升　水倒入小桶，第二次大桶從河中取　9升　水，將小桶倒滿（可倒　3升　），此時大桶里?！?span style="margin:0px; padding:0px; word-wrap:normal; word-break:normal">6升　水。所以共取水2次?！　?/span>

試一試：　　

1．有9枚金幣，其中有一枚是假的，它比真金幣要重一點，最少稱幾次可以把這枚假金幣找出來？　　

2．49名探險隊員要過一條小河，他們只帶了一只可一次乘坐7人的橡皮艇，只知道過一次河需要3分鐘時間，請你幫助算一下，全體隊員都渡到河對岸需要多少時間？　　

3．甲桶裝油8千克，另外有乙、丙兩個空瓶，分別能裝油5千克，3千克，請你設計一下，如何把甲瓶的油分成4千克？

練一練：　　

1．老師在黑板上畫了9個點，要求同學們用一筆畫出一條通過這9個點的折線，并且只許拐3個彎，能辦到嗎？　　

·??·??·　　

·??·??·　　

·??·??·　　

2．師生共52人外出春游，到達后，班主任要給每人買一瓶礦泉水，于是給了班長買礦泉水的錢，班長看到商店正在進行促銷活動，規定每5個空瓶可以換1瓶礦泉水，班長只要買多少瓶礦泉水，就可以保證每人一瓶？　　

3．有12只形狀大小完全一樣的零件，其中有一只重量較輕的次品，你能用天平只稱3次就找出這個次品嗎？　　

4．有老兩口帶著兒子、女兒和一條狗外出旅行，途中要過一條河，渡口有一只空船，最多能載50千克，而老倆口各重50千克，兒子和女兒各重25千克，狗重10千克，請問他們怎樣才能安全地渡過河去?！　?/span>

5．孫悟空會72變，豬八戒只會其中的一半。如果他們同時登臺表演71次，則變化相同的最多有多少次？　　

6．小紅從家到學校，步行往返要25分鐘，騎自行車去然后步行返回需18分鐘，騎自行車往返要多少分鐘？　　

讀一讀：　　

你能把這塊土地分成五份嗎？　　

一個農民有五個兒子，他去世前，留下遺囑，要兒子們按以下要求分配土地：　　

1，每個兒子必須同時與其他四個兒子為鄰?！　?/span>

2，任何兩個兒子的土地，必須至少有一條共同界線，而不能只是一個點。　　

3，每個兒子的土地必須是一整塊?！　?/span>

請你自己畫圖試試，看能不能解決這個難題。　　

實際上，要同時做到以上幾點是不可能的?！　?/span>

這個難題是一百多年前德國拓撲學家費地南德?摩比烏斯（上面說到過的奇妙紙環，就是以他的名字命名的）設計出來的。摩比烏斯發現五個圖形，無論形狀和大小如何，不可能同時有共同邊界。多少年來，許多數學家尋求解答這個問題，但此難題還是無解。所以人們又把這道難題叫做“無法兌現的遺囑”?！　?/span>

這個拓撲學上的難題有它特殊的用途，繪制地圖的人只要用四種顏色，就能把各種不同的地區分別開來，因為最多只有四個地區可以同時擁有一條共同邊界。這就是所謂“四色猜想”，這個猜想在1976年已由電子計算機作出證明?！　?/span>

?

世界八大數學難題

?

難題之一：Ｐ（多項式算法）問題對ＮＰ（非多項式算法）問題

在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數１３，７１７，４２１可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陳述的。

難題之二：霍奇(Hodge)猜想

二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?#xff0c;對于所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

難題之三：龐加萊(Poincare)猜想

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是"單連通的"，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。

難題之四：黎曼(Riemann)假設

有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s$的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。

難題之五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系?；跅?#xff0d;米爾斯方程的預言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、并且在他們的對于"夸克"的不可見性的解釋中應用的"質量缺口"假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

難題之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

難題之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

數學家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個這樣的點。

難題之八：一元錢去了哪里？

有3個人去投宿,一晚30元.三個人每人掏了10元湊夠30元交給了老板.?后來老板說今天優惠只要25元就夠了,拿出5元命令服務生退還給他們,?服務生偷偷藏起了2元,?然后,把剩下的3元錢分給了那三個人,每人分到1元.這樣,一開始每人掏了10元,現在又退回1元,也就是10-1=9,每人只花了9元錢, 3個人每人9元,3 X 9 = 27?元?+?服務生藏起的2元=29元，還有一元錢去了哪里？？？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第五讲 中外数学名题趣题欣赏与解析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。