不動點求通項

1、一階線性遞推式：$a_{n+1}=c{a}_n+d,c=0,c=1$，已知 $a_1$的值
特征方程：$f(x)=ax+b$，令 $f(x)=x$，解得特征根為 $x_0$，則可得：$a_n?x_0=c(a_{n?1}?x_0)=c^{n?1}(a_1?x_0)$
$a_n=c^{n?1}(a_1?x_0)+x_0$
當 $x_0=a_1$時，$a_n=x_0$
當 $x_0=a_1$時，$a_n=c^{n?1}(a_1?x_0)+x_0$

2、二階線性遞推：$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$，已知 $a_1,a_2$，可以聯立求得A、B
特征方程：$x^2=px+q$，設有特征根$x_1,x_2$，
當 $x_1=x_2$時，$a_n=A{x}_1^{n?1}+B{x}_2^{n?1}$
當 $x_1=x_2$時，$a_n=(A+Bn)x_1^{n?1}$

3、分式遞推式：$a_{n+1}=\frac{a{a}_n+b}{c{a}_n+d}$，$r=0,ad=bc,a_1=?\frac{d}{c}$，已知$a_1$的值
特征方程：$x=\frac{ax+b}{cx+d}$，設$x_1,x_2$是兩個特征根，

當 $x_1=x_2$時，$\frac{a_n?x_1}{a_n?x_2}=\frac{a?x_{1}c}{a?x_{2}c}\times \frac{a_{n?1}?x_1}{a_{n?1}?x_2}$

當 $x_1=x_2$時，$\frac{1}{a_n?x_1}=\frac{1}{a_{n?1}?x_1}+\frac{2c}{a+d}$

型如：$a_{n+1}=\frac{a_n^2+b}{a_n+d}$
例：已知數列 { $a_n$}，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n},a_1=2$，求通項

解：$f(x)=\frac{x^2+2}{2x}=x,x_1=\sqrt{2},x_2=?\sqrt{2}$

$$\frac{a_{n+1}?2}{a_{n+1}+2}=(\frac{a_n?2}{a_n+2}{)}^2=(\frac{a_1?2}{a_1+2}{)}^{2^{n?1}}$$

解得：
$$a_n=\sqrt{2}\times \frac{(2+\sqrt{2}{)}^{2^{n?1}}+(2?\sqrt{2}{)}^{2^{n?1}}}{(2+\sqrt{2}{)}^{2^{n?1}}?(2?\sqrt{2}{)}^{2^{n?1}}}$$

總結

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