1. 概述

Deep&Cross Network（DCN）[1]是由Google于2017年提出的用于計算CTR問題的方法，是對Wide&Deep[2]模型的進一步改進。線性模型無法學習到特征的交叉屬性，需要大量的人工特征工程的介入，深度網絡對于交叉特征的學習有著天然的優勢，在Wide&Deep模型中，Deep側已經是一個DNN模型，而Wide側是一個線性模型LR，無法有效的學習到交叉特征。在DCN中針對Wide&Deep模型的Wide側提出了Cross網絡，通過Cross網絡學習到更多的交叉特征，提升整個模型的特征表達能力。

2. 算法原理

2.1. DCN的網絡結構

DCN模型的網絡結構如下圖所示：

在DCN網絡中，由下到上主要包括五種類型的層，第一種是Embedding層，第二種是Stacking層，用于組合Embedding層的輸出；第三種是Cross network的層，用于對Stacking后的特征進行學習；第四種是Deep network的層，作用與Cross network的層一樣，此外，Cross network的層和Deep network的層是并行的兩個過程；第五種是輸出層，經過Cross network的層和Deep network的層后，組合兩者的輸出做最后的計算。

2.2. DCN網絡的計算過程

2.2.1. Embedding和Stacking

對于CTR問題的輸入，通常是由一些離散的特征和連續的特征組成，對于離散的特征的處理方法通常是利用one-hot編碼對其離散化處理，但是處理后的特征通常是較為稀疏的，舉例來說，如類別特征“country=USA”，假設通過one-hot編碼后得到的特征為$\left[0,1,0\right]$。這樣的特征不適合DNN處理，通常需要通過Embedding將其轉換成連續的向量表示，這便是Embedding層的作用，最終得到的Embedding層的輸出為：

$${\mathbf{x}}_{embed,i}=W_{embed,i}{\mathbf{x}}_i$$

其中，${\mathbf{x}}_{embed,i}$是Embedding層的輸出向量，${\mathbf{x}}_i$是屬入的第$i$個離散特征，$W_{embed,i}\in {\mathbb{R}}^{n_e\times n_v}$是一個$n_e\times n_v$的矩陣，是用于連接輸入層到Embedding層的參數。通過Embedding層后，在Stacking層，需要將Embedding層的輸出組合在一起，這里的Embedding特征包括了離散特征的Embedding結果以及原始的連續特征：

$${\mathbf{x}}_0=\left[{\mathbf{x}}_{embed,1}^T,?,{\mathbf{x}}_{embed,k}^T,{\mathbf{x}}_{dense}^T\right]$$

得到Embedding層的結果后，便進入到DCN網絡的核心的兩個網絡，分別是Cross network和Deep network。

2.2.2. Cross network

Cross network部分是Deep&Cross網絡的核心部分，其作用是利用深度神經網絡充分挖掘特征中的交叉特征。具體過程的形式化表示如下圖所示：

其具體的數學表述為：

$${\mathbf{x}}_{l+1}={\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_l^T{\mathbf{w}}_l+{\mathbf{b}}_l+{\mathbf{x}}_l=f\left({\mathbf{x}}_l,{\mathbf{w}}_l,{\mathbf{b}}_l\right)+{\mathbf{x}}_l$$

其中，${\mathbf{x}}_l,{\mathbf{x}}_{l+1}\in {\mathbb{R}}^d$表示的是Cross network的第$l$層和第$l+1$層的輸出向量，${\mathbf{w}}_l,{\mathbf{b}}_l\in {\mathbb{R}}^d$是Cross network的第$l$層的參數。上述公式的第二部分可以寫成：

$$f\left({\mathbf{x}}_l,{\mathbf{w}}_l,{\mathbf{b}}_l\right)={\mathbf{x}}_{l+1}?{\mathbf{x}}_l$$

從上述公式可以看出是一個殘差網絡[3]的表達形式，函數$f:{\mathbb{R}}^d?{\mathbb{R}}^d$需要擬合的是第$l+1$層和第$l$層的殘差${\mathbf{x}}_{l+1}?{\mathbf{x}}_l$。在ResNet中，殘差網絡的優點主要有：

通過殘差網絡可以構建深層網絡。在傳統的MLP，當網絡加深之后，往往存在過擬合現象。而通過殘差網絡構建深層網絡，可以減少過擬合現象的發生。

殘差網絡使用了ReLU激活函數取代Sigmoid激活函數可以有效防止梯度彌散，使得網絡更容易收斂。

總的來說，可以通過殘差網絡構建更深層的模型，便于學習到特征之間的交叉屬性。

2.2.3. Deep network

Deep network部分與Wide&Deep模型中一致，是一個典型的全連接前饋神經網絡，其可以由下屬公式表示：

$${\mathbf{h}}_{l+1}=f\left(W_l{\mathbf{h}}_l+{\mathbf{b}}_l\right)$$

其中，${\mathbf{h}}_l\in {\mathbb{R}}^{n_l},{\mathbf{h}}_{l+1}\in {\mathbb{R}}^{n_{l+1}}$分別為第$l$層和第$l+1$層的隱含層輸出，$W_l\in {\mathbb{R}}^{n_{l+1}\times n_l},{\mathbf{b}}_l\in {\mathbb{R}}^{n_{l+1}}$為Deep network第$l$層到第$l+1$層的參數；$f\left(?\right)$是一個激活函數，如ReLU。

2.2.4. Combination

Combination層的作用是將上述兩個network的結果組合在一起，以便送入到輸出層，通常選擇concat的方法將兩者組合在一起，如$\left[{\mathbf{x}}_{L_1}^T,{\mathbf{h}}_{L_2}^T\right]$，最終送入到輸出層，輸出層的結果為：

$$p=\sigma \left(\left[{\mathbf{x}}_{L_1}^T,{\mathbf{x}}_{L_2}^T\right]{\mathbf{w}}_{logits}\right)$$

其中，${\mathbf{x}}_{L_1}^T\in {\mathbb{R}}^d,{\mathbf{x}}_{L_2}^T\in {\mathbb{R}}^m$分別為Cross network和Deep network的輸出，${\mathbf{w}}_{logits}$為Combination層到輸出層的權重，$\sigma$為激活函數$\sigma =\frac{1}{1+exp\left(?x\right)}$。

2.3. Cross network中的特征交叉

Cross network中的特征交叉才是Cross network的核心，為了方便描述，在此對Cross network做一些限定：假設網絡的深度$L=2$，輸入${\mathbf{x}}_0\in {\mathbb{R}}^d$，為描述簡單，假設$d=2$，此時${\mathbf{x}}_0^T=\left[x_{0,0},x_{0,1}\right]$，則$L=1$層的輸出為：

$${\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_0^T{\mathbf{w}}_0+{\mathbf{b}}_0+{\mathbf{x}}_0$$

其中，${\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_0^T$為：

$${\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_0^T=\left(\begin{array}{cc}{x}_{0,0}{x}_{0,0}& x_{0,0}{x}_{0,1}\\ x_{0,1}{x}_{0,0}& x_{0,1}{x}_{0,1}\end{array}\right)$$

由于${\mathbf{x}}_0\in {\mathbb{R}}^d$，${\mathbf{w}}_0\in {\mathbb{R}}^d$，則${\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_0^T{\mathbf{w}}_0\in {\mathbb{R}}^d$，最終${\mathbf{x}}_1\in {\mathbb{R}}^d$。$L=2$層的輸出為:

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_2& ={\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_1^T{\mathbf{w}}_1+{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{x}}_1\\ & ={\mathbf{x}}_0{\left[{\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_0^T{\mathbf{w}}_0+{\mathbf{b}}_0+{\mathbf{x}}_0\right]}^T{\mathbf{w}}_1+{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{x}}_0{\mathbf{x}}_0^T{\mathbf{w}}_0+{\mathbf{b}}_0+{\mathbf{x}}_0\end{array}$$

從上述公式可以看到${\mathbf{x}}_1$包含了原始特征${\mathbf{x}}_0$從一階（即：$x_{0,0},x_{0,1}$）到二階（即：$x_{0,0}{x}_{0,0}$，$x_{0,0}{x}_{0,1}$，$x_{0,1}{x}_{0,0}$和$x_{0,1}{x}_{0,1}$）的所有可能叉乘組合，而${\mathbf{x}}_2$包含了其從一階到三階的所有可能叉乘組合。由此可知隨著Cross network的網絡深度的增加，交叉的階數也在增加，通過這種方式實現特征之間的充分交叉，同時通過不同層的權重${\mathbf{w}}_i$選擇不同階數的交叉特征，以此達到特征選擇的效果。

注：在Cross network中，網絡中每一層的維數都是相等的。

3. 總結

Deep&Cross Network通過對Cross network的設計，可以顯示、自動地構造有限高階的特征叉乘，并完成不同階特征的選擇，從而在一定程度上擺脫了人工的特征工程，同時保留深度網絡起到一定的泛化作用。

參考文獻

[1] Wang R, Fu B, Fu G, et al. Deep & cross network for ad click predictions[M]//Proceedings of the ADKDD’17. 2017: 1-7.
[2] Cheng H T, Koc L, Harmsen J, et al. Wide & Deep Learning for Recommender Systems[J]. 2016:7-10.
[3] He K, Zhang X, Ren S, et al. Deep residual learning for image recognition[C]//Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition. 2016: 770-778.

總結

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