以下收集暑假期間遇到的平面幾何題，以及解法的一些提示。給未來(lái)的自己復(fù)習(xí)參考用。

多圖片預(yù)警（請(qǐng)注意流量）

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Eden要開(kāi)始做寫(xiě)不完的暑假作業(yè)了，所以先停更了，之后碰到的一些題目也就不發(fā)上來(lái)了。

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目錄：?

Part 0：雜題(7)?

Part 1：等腰三角形中斯特瓦爾特定理的應(yīng)用(8)

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Part 0：雜題?

1、如圖，銳角三角形ABC中，AD垂直于BC。在線段AD上任取一點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)交AC于F，連接CE并延長(zhǎng)交AB于G。

求證：DA平分∠GDF

證法一：建坐標(biāo)系，代數(shù)法（略）。

證法二：三角函數(shù)暴力推（略）。

證法三：關(guān)鍵詞：賽瓦定理。輔助線如下：

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2、剛剛在 matrix67 的博客上翻閱到一題：http://www.matrix67.com/blog/archives/442

任意給定一個(gè)三角形ABC。令M為BC上的中點(diǎn)，令H為BC上的垂足。角A的平分線與BC交于點(diǎn)D。過(guò)B、C分別向角平分線AD作垂線，垂足分別為P、Q。

證明H、P、M、Q四點(diǎn)共圓。

博主的證法樸實(shí)又簡(jiǎn)潔明了。

評(píng)論區(qū)中 Pegasus 提到了一個(gè)出類(lèi)拔萃的做法，盡管不那么簡(jiǎn)潔，但十分有趣自然奇妙，忍不住來(lái)分享一下：

作△ABC外接圓交AD延長(zhǎng)線于X，∵AD是角平分線，∴MX⊥BC

根據(jù)相交弦定理，AD·DX=BD·DC

兩邊同時(shí)乘以cos∠ADB的平方，得到PD·DQ=HD·DM。于是PHQM四點(diǎn)公圓。

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3、

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?from 中等數(shù)學(xué) 2011-07 一道 IMO 幾何題的另解

閱讀了原題解（中等數(shù)學(xué) 2009-09 第 50 屆 IMO 試題解答?）和這篇“另解”，發(fā)現(xiàn)它們都采用了高深的三角函數(shù)。

于是這里來(lái)展示一下幾何方法（由于偷懶就寫(xiě)簡(jiǎn)要過(guò)程了）：

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顯然O,K,C共線。連結(jié)OC，連結(jié)DK。作D關(guān)于OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

∠OD'K=∠OEK，所以D'和E點(diǎn)重合，或O,K,D',E四點(diǎn)公圓。

① D'和E點(diǎn)重合，則BE⊥AC，易得?∠BAC=60°

② O,K,D',E四點(diǎn)公圓。∵∠OD'E=90°，∴∠OKE=90°。

∴∠OEK=∠EOK=45°

因?yàn)镵在∠DAC的角平分線上，易得AO=AE。∠AOE=∠AEO，∠BAD+∠ABE=∠ACB+∠EBC。

所以 ∠BAC=90°

綜上，∠BAC=60° 或 90°

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4、

關(guān)鍵詞：R乘到左邊，面積法

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5、

關(guān)鍵詞：構(gòu)造平均長(zhǎng)度。

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6、

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)

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7、

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關(guān)鍵詞：先猜后證。

結(jié)論：四邊形AO₁O₂P是等腰梯形，AO₁=PO₂

方法一：PS=PT于是PM₁=PM₂（《中等數(shù)學(xué) · 2011年第8期 · 構(gòu)造對(duì)稱(chēng)結(jié)競(jìng)賽題》中的證法）

方法二：圖中兩個(gè)三角形全等。

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Part 1：等腰三角形中斯特瓦爾特定理的應(yīng)用。（from 中等數(shù)學(xué) 2011.7）

斯特瓦爾特定理原型：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86?

特殊情形：等腰三角形 ABC 中 AB=AC，則 AB²－AD² =BD·DC

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1、

關(guān)鍵詞：圓冪定理

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2、

?關(guān)鍵詞：無(wú)

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3、

關(guān)鍵詞：兩個(gè)外心，定差冪線定理（平方的差相等即垂直）

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4、

關(guān)鍵詞：牛頓定理（相似證四線共點(diǎn)），定差冪線。

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5、

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最關(guān)鍵的一步，有兩條線是垂直的？！

關(guān)鍵詞：圓的冪（本質(zhì)還是斯特瓦爾特），定差冪線定理

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6、

?關(guān)鍵詞：完全四邊形的密克爾點(diǎn)（四圓共點(diǎn)）

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7、

方法一（樸素、基礎(chǔ)方法）：調(diào)和點(diǎn)列，梅涅勞斯定理。

方法二（模仿上一題做法）：密克爾點(diǎn)。

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8、

關(guān)鍵詞：梅涅勞斯定理。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/11113025.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的平面几何趣题集萃的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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