机器人操作空间轨迹规划 -- 姿态规划
? ? ? ? 這里我們主要討論機(jī)器人操作空間的姿態(tài)規(guī)劃方法。機(jī)器人末端執(zhí)行器的指向，由（時變的）末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣指定。旋轉(zhuǎn)矩陣的3列表示末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對基坐標(biāo)系的3個單位向量。
? ? ? ?常見的姿態(tài)規(guī)劃方式包括歐拉角和角軸兩種。
I. 歐拉角
? ? ? ?歐拉角是最為常見的也最簡單的一種姿態(tài)規(guī)劃方式，通過為歐拉角指定時間律來描述指向。末端執(zhí)行器的歐拉角三元組由旋轉(zhuǎn)、俯仰、偏擺組成：Φe?=（φ,? ?, ψ?）。通常，Φe?沿連接其初始值Φi?到其最終值Φf?的分段移動。通常選用三次多項式或混合拋物線線性分段時間律是方便的，通過這種方式，時變坐標(biāo)系的角速度將具有連續(xù)量。
示例：五次多項式時間律的位置、速度、加速度曲線，
? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
II. 角和軸
? ? ? ? 給定兩個在笛卡爾空間具有相同原點和不同指向的坐標(biāo)系，總可以確定一個單位向量，使得可以通過第一個坐標(biāo)系繞單位向量的軸，旋轉(zhuǎn)1個合適的角度，得到第二個坐標(biāo)系。
1. 基于角軸的姿態(tài)規(guī)劃
? ? ? ?對于定義在操作空間的誤差變量（位置和方向）進(jìn)行處理，其表達(dá)式由下式給出：
? ? ? ?其中， 表示末端執(zhí)行器的期望值， 表示末端執(zhí)行器的計算值。
? ? ? ?對于涉及到方向誤差的部分，其表達(dá)式取決于末端執(zhí)行器方向的詳細(xì)表示，即，歐拉角，角和軸，單位四元數(shù)。
? ? ? ?對于初始旋轉(zhuǎn)矩陣 和目標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣 ，有：
? ? ? ?所以有，
? ? ? ?對于旋轉(zhuǎn)變換 ，可以表示為繞空間中一固定軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。計算軸的單位向量 和旋轉(zhuǎn)角 ，可以求得初始旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)@該軸的角速度和角加速度。
? ? ? ?其中，軸的單位向量 ：
? ? ? ?
:
?
? ? ? ?為 指定一個時間律，當(dāng) ，且有 。 為常量，由此得到的速度和加速度為：
最后，為了表征末端執(zhí)行器關(guān)于基坐標(biāo)系的指向軌跡，需要進(jìn)行如下變化：
? ? ? 由此我們可以獲取機(jī)械臂的姿態(tài)關(guān)節(jié)的運動速度，再通過雅可比逆解到各個關(guān)節(jié)。
? ? ? 但是以上基于角軸表達(dá)式的姿態(tài)規(guī)劃存在奇異問題，當(dāng)θ= 0或θ= Π時，單位向量r是奇異的。
2.?基于四元數(shù)的姿態(tài)規(guī)劃
? ? ? ? 單位四元數(shù)對姿態(tài)的描述更加自然，另外還有效避免了歐拉角旋轉(zhuǎn)時奇異性的問題，且基于單位四元數(shù)的運動插補(bǔ)算法計算效率要比歐拉角和余弦矩陣高。
2.1 四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣的相互轉(zhuǎn)換
對于旋轉(zhuǎn)矩陣R：
對于四元數(shù)Q：
Q = [q1,? q2,? q3,? q4?]
四元數(shù)轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矩陣：
旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)四元數(shù)：
通過以上轉(zhuǎn)換關(guān)系我們可以實現(xiàn)四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣的相互轉(zhuǎn)換。
2.2?基于四元數(shù)的姿態(tài)規(guī)劃
對于單位四元數(shù)Q = {η，ε }，有：
假定 ，則角度θ∈[-Π, Π]，相當(dāng)于四元數(shù)可以描述所有的旋轉(zhuǎn)。相比于角軸表達(dá)式，沒有了奇異現(xiàn)象了。因此，我們采用單位四元數(shù)規(guī)劃姿態(tài)。
首先將旋轉(zhuǎn)矩陣的初始值 ，和目標(biāo)值 ，轉(zhuǎn)換成單位四元數(shù)，得到：
初始四元數(shù)：
目標(biāo)四元數(shù)
對于旋轉(zhuǎn)變換：
有四元數(shù)變換：
?
其中，S(·)為反對稱算子。
因此, 對于末端執(zhí)行器姿態(tài)關(guān)節(jié)速度 有：
?再對該速度雅可比逆解即可得到各關(guān)節(jié)速度。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的机器人操作空间轨迹规划 -- 姿态规划的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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