陶哲軒實分析 5.2 節習題試解

5.2.1

設 (an)∞n=0 是個 Cauchy 序列，(bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 等價的序列，證明 (bn)∞n=0 也是 Cauchy 序列。

證明：

因為 (an)∞n=0 是個 Cauchy 序列。所以對于任意的 ε>0，都存在一個 N≥0， 當i,j≥N 時，滿足 |ai?aj|<ε/3。

因為 (bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 等價的序列。所以對于任意的 ε>0，都存在一個 N′≥0 ，當 n≥N′ 時滿足 |an?bn|<ε/3。

對于任意的 ε>0，設 M=max(N,N′)。則，當i,j≥N′ 時，有：

|bi?bj|≤≤≤=|bi?ai+aj?bj+ai?aj||bi?ai|+|aj?bj|+|ai?aj|ε/3+ε/3+ε/3ε

所以 (bn)∞n=0 也是 Cauchy 序列。

5.2.2

設 (an)∞n=0 是個有界序列，(bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 終極 ε- 接近的，證明 (bn)∞n=0 也是有界序列。

證明：
(an)∞n=0 是個有界序列。那么存在一個 M≥0，對任意的 i≥0，滿足 |ai|<M。
因為 (bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 終極 ε- 接近的。
所以存在一個 N≥0，當 n≥N 時，有 |an?bn|<ε。
所以當 n≥N 時，有 |bn|≤|an|+ε≤M+ε

(bn)N?1n=0 是個有限長度序列，必然是有界的，也就是說存在一個 M′，滿足：
當 n<N 時，|bn|≤M′。

取 M′′=max(M,M′)。則對任意的 bn 都有 |bn|≤M′′。
所以 (bn)∞n=0 是個有界序列。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析 5.2 节习题试解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。