陶哲軒實分析 3.2 節(jié) 習題試解

習題3.2.2 原來的解答有問題，有更新。

習題 3.2

這一小節(jié)只有三道習題。不過卻花了我很長的時間。主要是被這本書關于正則公理的中文翻譯給坑了。
書中正則公理是這么表達的：如果$A$ 是一個非空的集合，那么$A$至少有一個元素 $x$，要么$x$不是集合，要么$x$ 是與$A$不同的集合。
"$x$ 是與$A$不同的集合" 我理解為 $x?=A$，實際上正則公理說的是 $x?A=?$…

3.2.1

(1) 證明萬有分類公理蘊含公理 3.2

構造一個性質 $P(x)$ 這個性質恒為假。那么 $\{x:P(x)\}$ 就是 空集 $?$。

(2) 證明萬有分類公理蘊含公理 3.3

構造一個性質

$$P(x)=\{\begin{array}{ll}true& x=a\\ false& other\end{array}$$

那么$\{x:P(x)\}$ 就是單點集$\{a\}$。

構造一個性質

$$P(x)=\{\begin{array}{ll}true& x=aorx=b\\ false& other\end{array}$$

那么$\{x:P(x)\}$ 就是雙元素集$\{a,b\}$。

(3) 證明萬有分類公理蘊含公理 3.4

構造一個性質

$$P(x)=\{\begin{array}{ll}true& x\in Aorx\in B\\ false& other\end{array}$$

那么 $\{x:P(x)\}$ 就是集合 $A?B$。

(4) 證明萬有分類公理蘊含公理 3.5

構造一個性質

$$Q(x)=\{\begin{array}{ll}true& x\in AandP(x)=true\\ false& other\end{array}$$

那么 $\{x:Q(x)\}$ 就是集合 $\{x\in A:P(x)為真\}$。

(5) 證明萬有分類公理蘊含公理 3.6

構造一個性質

$$Q(y)=\{\begin{array}{ll}true& ?x\in A使得P(x,y)=true\\ false& other\end{array}$$

那么 $\{x:Q(x)\}$ 就是集合 $\{y:P(x,y)對于某個x\in A成立\}$。

3.2.2

(1) 證明 $A\in /A$

反證法：假如存在一個集合 A 使得 $A\in A$ 成立。
那么由于$A\in A$ 且 $A\in \{A\}$
所以 $A?A?\{A\}$
而正則公理要求 $A?\{A\}=?$, 空集不存在子集。
出現(xiàn)矛盾，所以不存在這樣的集合 $A$。

(2) 如果 $A$ 和 $B$ 是集合，那么要么 $A\in /B$ 要么 $B\in /A$，或者二者同時成立。

反證法：
假設$A\in B$ 和 $B\in A$ 同時成立。
由于 $A\in \{A,B\}$ 和 $A\in B$ 所以
$$A?\{A,B\}?B$$
同理：
$$B?\{A,B\}?A$$

與正則公理矛盾，正則公理要求至少有一個 $x$ 滿足 $\{A,B\}?x=?$。

3.2.3

（1）構造性質$P(x)$ 使得對于任何 $x$, $P(x)$ 始終為真。那么 $\{P(x)\}$就是萬有集合 $\Omega$。

（2）如果存在萬有集合$\Omega$， 那么任何公理3.8生成的集合$\{P(x)\}$ 都可以由分類公理構造$\{x\in \Omega :P(x)\}$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析 3.2 节 习题试解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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