陶哲軒實(shí)分析 4.4 節(jié)習(xí)題試解

4.4.1 設(shè) x 是比例數(shù)，證明存在唯一的整數(shù) n 滿足 n≤x<n+1

對(duì) x 分情況討論。
（1）x≥0 ，這時(shí) x=a/b， a,b 都是自然數(shù)，并且 b≠0。

那么由歐幾里德算法有：
a=mb+r 其中 m,r 為自然數(shù)，并且滿足 0≤r<b
那么

x=ab=mb+rb=m+rb
可以看出 m 滿足： m≤x<m+1
下面再證明 m 的唯一性。
假設(shè)存在另一個(gè) n≠m 也滿足 n≤x<n+1
那么有：
n≤ab<n+1?nb≤a<nb+b

設(shè) r′=a?nb ，那么有 0≤r′<b
也就是 a=nb+r′ 其中 n,r′ 為自然數(shù)，并且滿足 0≤r′<b

而歐幾里德算法保證了 a 只有唯一的一種拆分方式。也就是說(shuō) n=m,r′=r 與原假設(shè)矛盾。
所以 x≥0 時(shí)，存在唯一的整數(shù) n 滿足 n≤x<n+1。

（2）當(dāng) x<0 時(shí)， x 可表示為 x=?a/b ，其中 a,b 都是自然數(shù)，并且 a≠0,b≠0。

同樣由歐幾里德算法有：
a=mb+r 其中 m,r 為自然數(shù)，并且滿足 0≤r<b
那么

x=?ab=?mb?rb=?m?rb
再對(duì) r 分情況討論。
（2.1） r=0 這時(shí) x=?m ，設(shè) m′=?m， 則 m′ 滿足：
m′≤x<m′+1
證明這種情況下 m′ 是唯一的。假設(shè)還有另一個(gè)整數(shù) n≠m′，也滿足 n≤x<n+1。
那么有：
n≤m′<n+1
滿足這個(gè)條件的 n 只有一個(gè) n=m′。 這與原假設(shè)矛盾。所以此情況下 m′ 是唯一的。

（2.2） 0<r<b
那么有：

x=?ab=?m?rb=?m?1+b?rb
設(shè) m′=?m?1,r′=b?r ，那么有 0<r′<b
上式簡(jiǎn)化為：
x=m′+rb
所以 m′ 滿足： n≤m′<n+1
證明這種情況下 m′ 是唯一的。假設(shè)還有另一個(gè)整數(shù) n≠m′，也滿足 n≤x<n+1。

n≤?ab<n+1

設(shè) r′=?a?nb
那么有：

x?n≥0??ab?n≥0??a?nbb≥0?r′≥0

還有：

n+1?x>0?n+1??ab>0?nb+a+bb>0??r′+1>0?r′<1

所以 r′ 滿足 0≤r′<1 并且有：

x=n+r′b=m+rb

不妨假設(shè) r≥r′，那么

0≤n?m=r?r′b<1

所以 n=m 。這與原假設(shè)矛盾。 所以 m 是唯一的。

綜上，就證明了對(duì)任意比例數(shù) x，存在唯一的整數(shù) n 滿足 n≤x<n+1

4.4.2 證明不存在無(wú)限減小的自然數(shù)序列。

反證法：假設(shè)存在一個(gè)自然數(shù)序列 {a0,a1,?,an,?}，這個(gè)序列滿足對(duì)一切的自然數(shù) n 都有 an≥0 和 an>an+1 。

那么可以用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù) k 和 任意的自然數(shù) n ，都有 an>k。
證明如下：
k=0 時(shí)，顯然有 an>k
假設(shè)對(duì) k 成立，也就是?n,an>k
下面用反證法證明 對(duì)于 k+1 也有 ?n,an>k+1
假設(shè)對(duì)于 k+1， 如果存在某一個(gè) m 滿足 am≤k 同時(shí)根據(jù)上面假設(shè)又有 am>k 那么必然 am=k+1。那么 am+1<am=k+1，所以 am+1≤k，與 am>k 的假設(shè)矛盾。
所以 ?m,am>k+1

所以，任意的自然數(shù) k 和 任意的自然數(shù) n ，都有 an>k。

而我們知道不存在大于任意自然數(shù)的自然數(shù)。所以這樣的自然數(shù)序列 {a0,a1,?,an,?} 不存在。

4.4.3 證明不存在比例數(shù) x 滿足 x2=2

首先，x≠0，因?yàn)?02=0。
其次，如果存在這樣的比例數(shù)，那么這樣的比例數(shù)中必然有正比例數(shù)。因?yàn)槿绻@樣的比例數(shù)是負(fù)的。那么 ?x 必然是正的，并且滿足 (?x)2=2。
設(shè) x=p0/q0 其中 p0 和 q0 是兩個(gè)自然數(shù)，滿足 p0>q0 ，并且：

(p0)2=2(q0)2
那么 p0 一定是偶數(shù)，因此 p0=2p1，所以有：
2(p1)2=(q0)2
所以 p1<q0<p0。 另外， q0 也是偶數(shù)，必然可以寫(xiě)為 q0=2q1。
(p1)2=2(q1)2

利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去：

假設(shè)對(duì)于 n 成立：
(pn)2=2(qn)2

那么 pn 為偶數(shù)。所以存在一個(gè)自然數(shù) pn+1 滿足 2pn+1=pn。
所以：

2(pn+1)2=(qn)2pn+1<pn

所以 qn 也是偶數(shù)，也就是說(shuō)存在一個(gè)自然數(shù) qn+1 滿足 2qn+1=qn。

所以：

(pn+1)2=2(qn+1)2qn+1<qn

所以對(duì)于任意的自然數(shù) n 都有：

(pn)2=2(qn)2p0>p1>p2>?>pn>?q0>q1>q2>?>qn>?

也就是說(shuō) pn 是無(wú)限遞減的自然數(shù)序列。而無(wú)限減小原理表明不存在這樣的自然數(shù)列。
所以不存在比例數(shù) x 滿足 x2=2。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析 4.4 节习题试解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。