《陶哲轩实分析》阅读
? ? ? ? 在讀論文過程中，發現當作者通過數學建模構建了其自變量和因變量的表達式之后，在模型求解階段，會關心其單調性、極值、衰減因子，而后在模型檢驗階段通過實驗來驗證求解的性質或者推論等，這也可以在論文中發表，于是對數學分析這個過程非常好奇，參考《陶哲軒實分析》和《網絡中信息傳播:信息源選擇與檢測的若干關鍵問題研究》論文。目前所學習到的東西
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?1? ?從定義和公理可以推導很多定理、引理、推論，而數學分析就是強調這一過程，解決寫論文時含糊不清的字眼，詞匯。
2? ? 研究對象包括實數、實數序列、實數級數以及 實值函數，這些對象在處理各種問題時候大量出現。
3 作為計算機的學生，當我們在論文中看到某個理論時，我們更為關注的是該理論的定義、性質、應用、限制、原理，我們可能就是理論的搬運工，但這也非常的考驗我們抽象問題、融會貫通的能力。
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1? 引言
1.1 什么是分析
? ? ? 分析學是對實數、實數序列、實數級數以及 實值函數進行嚴格研究的學科，并且著力于對這 些對象做出準確的定性和定量分析。實分析是微積分學的理論基 礎，而微積分是我們在處理函數時所用到的計算規則的集合。1.2 為什么要做分析？
? ? 為了讓你明白數學工具的原理以及知道其限制條件和優點，什么情況能用，什么情況不能用。
? ? ? ? ? ?更重要的其實是將自己所遇到的問題構造（轉化）為數學能夠解決的問題，一方面我們有必要對自己研究方向的遇到的各種問題了如指掌，另一方面就是不斷學習新的數學工具。
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2? ?從頭開始：自然數
考慮最本質的問題，比如我寫1+1，你為什么馬上就反應其等于2，我們對于數字的敏感在于我們對其的加法法則已經根深蒂固的了解，但是如果讓你證明1+1=2，似乎是一件很難的事情。
2.1 皮亞諾公理
? ? ? 首先給出一個自然數的非正式定義，然后再基于這個定義給出皮亞諾公理，而后詢問一個存在問題？
? ? ?作者想要定義自然數這個東西，卻發現其需要皮亞諾5個公理才能定義。前面4個其實我覺得是在補全定義自然數有時候出現紕漏的情況，而第5個公理數學歸納法是給予自然數增長不斷到無限的保證。
數學歸納法就像一個模板一樣，可以套用各種各樣的東西進去，其公理長這樣，
公理 2.5（數學歸納法原理）令 P(n) 表示自然數 n的任意一個性質， 如果 P(0) 為真且 P(n) 為真時一定有 P(n++)也為真， 那么對于任意自 然數 n，P(n) 一定為真。 ? ? ?其中P（n）可以是“n 是偶數”“n 等于 3”“n 是方程的解”，等等。這點非常重要，涉及到你是否能夠套用這個定理去解決你的問題。比如搞定某個函數是否單調增、某個數列是否收斂等。?
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非正式定義了自然數，而后又出給5個公理，在給出非正式的自然數集合存在。
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2.2 加法
目前我們只有增量運算和少量定理來構成對自然數的定義，那么如何定義加法，并推導出加法交換律、結合律等等呢？
對象（加法）的規律（交換律、結合律）來自于公理、定義（自然數、數學歸納法、增量運算、加法）下的產物。
陶哥這樣定義：
定義 2.2.1（自然數的加法）令 m 為一個自然數，我們定義 m 加上 0 為 0+m := m。 現在遞歸地假設我們已經定義了如何把 m 加上 n，那 么我們把 m 加上 n++ 定義為 (n++)+m:=(n+m)++。?
由這個再加上兩條引理，可證明加法的可交換律。
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? ? ?比如我們要證明1+1=2，那我們必須要定義1，2是什么，+是什么，=是什么。這里1,2是自然數、+表示加法，=表示相等。那么我們必須定義好自然數（2.1節干的事），定義好+（2.2節干的事）。然后才可得1+1=2。
2.3? 乘法
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3 集合論
3.1 基礎知識
還是一樣的討論，定義集合以及上面的一些運算(交集、補集、并集），然后推導其運算律。
3.2
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3.3 函數
為了研究分析理論，僅有集合的概念并不是特別有用，我們還需要從 一個集合到另一個集合的函數概念。?
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3.4? 象和逆象
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3.5 笛卡爾積
另一個定義在集合上的運算。
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3.6 集合的基數
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?4 整數與有理數
通過引入減法運算，我們從自然數中得到了整數，并且通過引 入除法運算從整數中得到了有理數。
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5 實數
通過引入減法運算，我們從自然數中得到了整數，并且通過引 入除法運算從整數中得到了有理數。但是從有理數中得到實數是從一 個“離散的”系統過渡到一個“連續的”系統，而且還需要引入一個略微不同的概念——極限。數學是環環相扣的，從自然數其上運算，從集合論到其上運算，從自然數+減法到整數，從整數+除法得到有理數，從有理數+極限得到實數。但其全部過程都是在補全數論。就像c語言的各種類型一樣。
6? 序列的極限
在上一章中，我們把實數定義為有理數（柯西）序列的形式極限，進 而又定義了實數的各種運算。但是，與我們構造整數（最終用實際差 代替了形式差）和有理數（最終用實際商代替了形式商）時所做的工 作不同，我們還沒有真正完成構造實數的任務，因為我們從未用真正 的極限 來代替形式極限 。事實上，我們根本還不曾 定義極限?，F在我們就來修正這件事。? ? ? ? 嚴格定義極限，
7? 級數
在第6章序列極限基礎上更近一步，定義級數及其極限。
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9 R上的連續函數
? ? ?在前幾章中，我們主要研究了序列。序列? 可以看作是一個從 N到 R的函數，即對每一個自然數 n 都指定了一個實數an 的映射。然 后我們對這些從 N到 R的函數做了各種各樣的事情，例如在無窮大 處取它們的極限（當函數收斂時），或者構造上確界和下確界等，又 或者計算一個序列的全體元素之和（同樣要假設級數是收斂的）。 ? ? ? 現在我們要研究的不是定義在“離散的”自然數集 上的函數，而是 定義在一個連續系統上的函數，例如定義在實直線 上的函數，或者 定義在像 這樣區間上的函數。最終，我們將對這些函 數進行大量運算，包括取極限、求導以及計算積分值。在本章中，我 們主要研究函數的極限以及與之密切相關的連續函數的概念。?
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的《陶哲轩实分析》阅读的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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