E.三棱錐之刻

P為正三棱錐內部的中心，PA，PD為正三棱錐外接球半徑，OP為正三棱錐內切球半徑

結論：已知正三棱錐的棱長為a，那么正三棱錐外接球半徑為：$\frac{\sqrt{6}}{4}a$ ，正三棱錐內切球半徑為：$\frac{\sqrt{6}}{12}a$

//minn為正三棱錐內切球半徑，maxx為正三棱錐外接球半徑 double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4; double area;

本題分三種情況：

當染色半徑 $r\le \frac{\sqrt{6}}{12}a$時， 即染色球還未觸及正三棱錐內壁，那么就無法染色

if (r <= minn) area = 0;//無法染色，染色面積自然為0

當染色半徑 $r\ge \frac{\sqrt{6}}{4}a$時， 即染色球已經包含整個正三棱錐，那么整個正三棱柱的內部都會染色

else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱錐一個側面三角形的面積

當染色半徑 $\frac{\sqrt{6}}{12}a\le r\le \frac{\sqrt{6}}{4}a$ 時，分為兩個小情況：
(1) 當橫截面積 ≤ 是三角形的內切圓 即 橫截圓的半徑 ≤ $\frac{\sqrt{3}}{6}a$

此時OG為底面三角形ABC的內切圓，OG為內切圓的半徑為：$d=\frac{\sqrt{3}}{6}a$ ，染色圓的半徑為：r

那么染色球與其中一個底面三角形ABC形成的橫截圓的半徑為：$r_1=\sqrt{(r?\frac{\sqrt{6}}{12}a{)}^2?d^2}$

所以：此時底面三角形ABC染色面積為：$\pi r_1^2$ ，有4個面就是 $4\pi r_1^2$

(2) 當 正三角形的內切圓 ＜ 橫截圓 ＜ 正三角形的外接圓 即 染色的面積如藍色陰影部分：

這個面積分為兩個部分：等腰三角形+扇形

此時的 $r_1,d,2d$ 如圖所示

3個等腰三角形面積 = $\sqrt{r_1^2?d^2}\times d\times 3$

扇形的弧度：$\alpha =(2\pi ?acos(\frac{d}{r_1})\times 2\times 3)÷3$

3個扇形面積 = $\frac{\alpha }{2\pi }\times \pi \times r_1^2\times 3$

else {if (r1 <= d) {area = PI * r1 * r1;} else {double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3個等腰三角形的面積//cos() 是已知一個角的弧度值 x，求該角的余弦值 y;而 acos() 是已知一個角的余弦值 y，求該角的弧度值 x。//扇形面積 = ((2 * PI - 三個等腰三角形的角度) * 3 / 3) / (PI * 2) * PI * f(r1);double area2 = ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);area = area1 + area2; }}

完整的AC代碼：

#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<algorithm> #define ll long long #define int ll #define PI acos(-1) #define MOD 1000000007 using namespace std; int read() {int w = 1, s = 0;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch>'9') { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }while (ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar(); }return s * w; } //x的平方 double f(double x) {return x * x; } signed main() {double a;//題目給的正三棱錐的棱長double r;//題目給的染色的半徑scanf("%lf%lf", &a, &r);// sqrt(6) * a / 12;是正三棱柱內切球的半徑// sqrt(6) * a / 4; 是正三棱柱外接球的半徑double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4;/*本題分三種情況：Ⅰ. 當染色半徑 r <= sqrt(6) * a / 12; 那么就無法染色Ⅱ. 當染色半徑 r >= sqrt(6) * a / 4; 那么整個正三棱柱的內部都會染色Ⅲ. 當染色半徑 sqrt(6) * a / 12 < r < sqrt(6) * a / 4 時分為兩個小情況：(1) 當橫截面積 恰好是三角形的內切圓(2) 當橫截面積 大于正三角形的內切圓 小于正三角形的外接圓*/double r1 = sqrt(f(r) - f(sqrt(6.0) * a / 12));//在正三棱錐的一個側面被染色截面圓的半徑double d = sqrt(3.0) / 6 * a;//正三角形的內切圓的半徑double area;if (r <= minn) area = 0;else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱錐一個側面三角形的面積else {if (r1 <= d) {area = PI * r1 * r1;} else {double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3個等腰三角形的面積//cos() 是已知一個角的弧度值 x，求該角的余弦值 y;而 acos() 是已知一個角的余弦值 y，求該角的弧度值 x。double area2 = 3 * ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);//扇形面積 = ((2 * PI - 三個等腰三角形的角度) * 3 / 3) / PI * 2 * PI * f(r1);area = area1 + area2;}}printf("%.6lf\n", area * 4);return 0; }

總結

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