留下來的都是精華。

留數(shù)理論的一個(gè)重要應(yīng)用就是用來計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分，我們先從復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的分類將起：

定義：

是一個(gè)全純函數(shù)：

當(dāng)存在一個(gè)半徑

時(shí)，有 時(shí)。這時(shí)稱 為復(fù)變函數(shù) 的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。現(xiàn)在假設(shè) 在 中展開點(diǎn)為 的 級(jí)數(shù)為：

則有一下關(guān)于孤立奇點(diǎn)的定義：

當(dāng) ,則 叫做可去奇點(diǎn)。

當(dāng) ,則 叫做 階極點(diǎn)。

當(dāng) 既不是可去奇點(diǎn)也不是極點(diǎn)時(shí)，則稱為 的本質(zhì)奇點(diǎn)。對(duì)于該定義可以這樣理解：可去奇點(diǎn)意味著可以在 上找到一個(gè)全純函數(shù) ，使得：
且 在 處有定義。這種 其實(shí)就是 在 的 級(jí)數(shù)。 級(jí)數(shù)不含主部分。 階極點(diǎn)意味著可以在 上找到一個(gè)全純函數(shù) ，使得: 級(jí)數(shù)含主部分的有限項(xiàng)（ 為記就含有幾項(xiàng)）。 不存在。即 級(jí)數(shù)含主部分的無限項(xiàng)。

例子：

是復(fù)變函數(shù) 的可去奇點(diǎn)。
可見， 在 處有定義。且 在 的冪級(jí)數(shù)展開式不包含任何 的負(fù)冪次項(xiàng)。也就是不含有 級(jí)數(shù)的主部分。

是復(fù)變函數(shù) 的一階極點(diǎn)。
也就是 的展開式中僅含有一項(xiàng) 的負(fù)冪次項(xiàng)，即含有有限項(xiàng)（一項(xiàng)）的 級(jí)數(shù)的主部分，所以 是 的一階極點(diǎn)。

是復(fù)變函數(shù) 的本質(zhì)奇點(diǎn)。
含有 級(jí)數(shù)的主部分的無限項(xiàng)。

• 留數(shù)

什么是留數(shù)呢？留數(shù)留數(shù)，就是被留下來的數(shù)。也可以理解為剩下的數(shù)。到底是哪個(gè)數(shù)被留下了呢？首先，我們來考察一個(gè)復(fù)函數(shù)

在點(diǎn) 處的 級(jí)數(shù)：

我們對(duì)這個(gè)等式兩側(cè)進(jìn)行積分有：

由于對(duì)

的積分只有當(dāng) 時(shí)才有值，為 ，所以上面的一大串子積分最終變?yōu)?#xff1a;

也就是說

被留下了，這就是留數(shù)了，即：留數(shù)就是 的 級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù) 。

顯然對(duì)于任何一個(gè)全純函數(shù)和僅具有可去奇點(diǎn)的復(fù)變函數(shù)來說，是沒有留數(shù)的。（因?yàn)檫@兩種情況下

的 級(jí)數(shù)是不含負(fù)次冪項(xiàng)的）。下面我們主要討論極點(diǎn)的留數(shù)應(yīng)該如何計(jì)算。

對(duì)于極點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算分為以下三種情況：

若 是 的簡(jiǎn)單極點(diǎn)（即一階極點(diǎn)），則 可由一個(gè)全純函數(shù) 表示為 ，則有：

若 ，且 在 的一個(gè)鄰域中是全純的，且 是 的簡(jiǎn)單零點(diǎn)（一階零點(diǎn)），則有：

若 是 的 階極點(diǎn)，則 可由一個(gè)全純函數(shù) 表示為 ，則有：

證明：

這種情況是 中的 時(shí)的情況，一會(huì)我們來證明 。 設(shè) ，則 在 是全純可展開的，且 。從而 在 是全純可展的且 。我們先利用 有： 。我們對(duì)我們所定義的 求導(dǎo)得到： ,對(duì)于 有：
即 成立，所以 成立。

對(duì)于這個(gè)定理，我想說明一點(diǎn)：如果在第二種情況中顯化了

的一次方，那么也可以當(dāng)做第一種情況計(jì)算留數(shù)。比如：

則我們既可以按第一種類型計(jì)算

在奇點(diǎn)處的留數(shù)，也可以按第二種類型進(jìn)行計(jì)算：

若按第一種類型計(jì)算留數(shù)的話那對(duì)于

的兩個(gè)不相交的圓域來說， 分別是 的兩個(gè)孤立奇點(diǎn)，且是兩個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)。從而利用上面定理中的第一條有：

若直接利用第二條結(jié)論有：

• 留數(shù)定理以及其在實(shí)積分中的應(yīng)用

留數(shù)定理：

設(shè)

是一個(gè)區(qū)域，且 是全純的，且 是一條封閉分段的 路徑，且在 中是零同倫的，也就是說在 中僅含有至多 個(gè)奇點(diǎn) .則有：

其中

為卷繞數(shù)，若 為 曲線，則 。

證明：

我們僅考慮封閉路徑 中的奇點(diǎn)，對(duì)于封閉路徑以外的奇點(diǎn)，該封閉路徑對(duì)其的卷繞數(shù)為0。 我們可以將該封閉路徑分解為 個(gè)封閉子路徑 。對(duì)于每一個(gè)閉合子路徑 都僅包含具有相同卷繞數(shù)的奇點(diǎn)。 對(duì)于每一個(gè)閉合子路徑 都同倫于一個(gè) 次穿過的簡(jiǎn)單封閉分段 路徑 ，從而有下列積分： 利用 積分定理：對(duì)于每一個(gè)沿簡(jiǎn)單封閉的路徑 積分都可以分解為包含在 內(nèi)的一個(gè)包含奇點(diǎn)的圓上的積分。從而有：
之后我們將 在 處展成 級(jí)數(shù)：

介紹完了留數(shù)定理，我們來看看如何利用留數(shù)定理來計(jì)算實(shí)積分。使用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分一共分為四種類型，我們一種一種來說：

定理：

設(shè)

是有理函數(shù)且不具有實(shí)奇點(diǎn)，且多項(xiàng)式 的階數(shù)滿足： ，則有：

證明：

由于 則對(duì)于足夠大的 ，我們可以有如下估值：
所以由比較審斂法可知廣義積分收斂。我們現(xiàn)在選取如下積分路徑：
圓心在原點(diǎn)的半徑為 的上半圓，路徑 是在實(shí)軸上的直徑，從左到右， 是從右到左的上班圓周。

我們假設(shè)這個(gè)半圓的半徑充分大，以至于能夠包含這個(gè)有理函數(shù) 的所有虛部大于零的孤立奇點(diǎn)（即所有上半平面的奇點(diǎn)）。從而，對(duì) 的內(nèi)部由留數(shù)定理可以有：
我們將上等式右側(cè)的積分分為上半復(fù)平面和實(shí)軸上的積分：
對(duì)于 上的積分我們利用之前的估值可以得到以下不等式：
綜上所述：

例：計(jì)算反常積分：

解：復(fù)變函數(shù)

具有六個(gè)一階極點(diǎn)分別是：

其中虛部大于零的極點(diǎn)有：

.且 滿足 。且根據(jù) 的形式，我們選擇球極點(diǎn)的留數(shù)定理中的第二條從而有：

由定理得：

定理：

設(shè)

是一個(gè)區(qū)域，且 是全純的，且 . 的有限多的孤立奇點(diǎn)都分布在上半平面 ,且 ,則有：

其中

是 主值。

證明：

我們選擇與上面的定理中一樣的積分路徑，從而有如下估值：
其中
為了進(jìn)行估值，我們使用以下關(guān)系：
從而有：
則：

例：計(jì)算廣義積分：

解：根據(jù)比較審斂法我們知道該反常積分收斂。從而它是下列復(fù)積分的實(shí)部：

由于

，從而由上定理有：

也就是：

定理：

設(shè)

是變量 的有理函數(shù)，且 在單位圓周 上沒有奇點(diǎn)，則有：

證明：

上面定理中的右邊我們可以利用留數(shù)定理進(jìn)行改寫：

例：計(jì)算積分：

解：

首先，

在單位圓上沒有奇點(diǎn)，從而定義：

的極點(diǎn)是： ,且只有 在單位圓內(nèi)，則 在 處的留數(shù)為：

從而由以上定理有：

定理：

設(shè)

是一個(gè)有理函數(shù)，且在區(qū)間 上沒有極點(diǎn)。且 且對(duì)于 有：

選擇

的主值支：

證明：

對(duì)于這個(gè)定理的證明我們找到以下封閉路徑 的圍道積分：

從而：
對(duì)于 時(shí)的極限值：
由于 ， 有：
且有估值：
利用留數(shù)定理有：

例：計(jì)算廣義積分：

解：函數(shù)

的奇點(diǎn)是 ,滿足上定理的前提條件，所以：

從而由上定理有：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的幂级数展开求积分_[干货]---如何利用留数定理计算积分的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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