周期為2pi的函數展開為傅里葉級數

• 周期為2pi的函數展開為傅里葉級數
• • 周期為2pi的函數
  • 求a0
  • 求an
  • 求bn
  • 結論

周期為2pi的函數展開為傅里葉級數

周期為2pi的函數

周期 $T=2\pi f(x)=f(x+2\pi )$

把三角函數轉化為無數三角函數的加和
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}cosnx+\sum _{n=0}^{\infty }{b}_{n}sinx\\ & =a_{0}cos0x+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnx+b_{0}sin0x+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinx\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnx+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinx\end{array}$$

而有些教科書上的定義為：

求a0

$$\begin{array}{rl}{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)dx& ={\int }_{?\pi }^{\pi }{a}_{0}dx+{\int }_{?\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxdx+{\int }_{?\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinxdx\\ & =a_0{\int }_{?\pi }^{\pi }dx=a_{0}x{\mid }_{?\pi }^{\pi }=2\pi a_0\end{array}$$
所以： $a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)dx$

可能是為了抹去分母上的2，許多教科書上把公式定義為

此時： $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)dx$

求an

等式兩邊乘以$cosmx$,求積分
$$\begin{array}{rl}{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)cosmxdx& ={\int }_{?\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}cosmxdx+{\int }_{?\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxcosmxdx+{\int }_{?\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinnxcosmxdx\end{array}$$
等式的右邊只剩下 $n=m$ 的情況下不等于0
$$\begin{array}{rl}{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)cosmxdx& ={\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx\\ & ={\int }_{?\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnxcosnxdx\\ & =a_n{\int }_{?\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }cosn{x}^{2}dx\\ & =a_n\pi \end{array}$$

所以: $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx$

求bn

等式兩邊乘以$sinmx$,求積分

所以: $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx$

結論

周期為$2\pi$函數的傅里葉展開為：

$f(x)=f(x+2\pi )T=2\pi$

$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{n}cosnx+{\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_{n}sinx$

$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)dx$

$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx$

$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx$

原視頻：
https://www.bilibili.com/video/av34556069/?spm_id_from=333.788.videocard.0

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2 周期为2pi的函数展开为傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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