傅里葉級數(shù)展開的定義

將一個周期信號分解為一個直流分量和一系列復指數(shù)信號分量之和的過程被稱為傅里葉級數(shù)展開。
周期信號$f(t)$的傅里葉級數(shù)展開式為：$$f(t)=\sum _{k=?\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$
其中：
$w_0:w_0=\frac{2\pi }{T}$，周期$T$確定了$w_0$就確定了

$c_k$:傅里葉系數(shù)，$c_0$就是直流分量

傅里葉級數(shù)展開的幾何意義

傅里葉級數(shù)展開的本質就是用一系列角速度為$w=k{w}_0$的旋轉向量$c_k{e}^{jk{w}_{0}t}$來合成周期信號。旋轉向量在$t=0$時刻對應的向量就是傅里葉系數(shù)$c_k$
如下圖所示：

傅里葉系數(shù)的計算公式

傅里葉系數(shù)的計算公式如下：$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}f(t)e^{?jk{w}_{0}t}dt(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
這個公式是怎么得來的呢？

• 將傅里葉級數(shù)展開式中$k=m$那一項單獨列出來：$$f(t)=\sum _{k=?\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}=c_m{e}^{jm{w}_{0}t}+\sum _{k=?\infty ,k=m}^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$
• 兩端乘以$e^{?jm{w}_{0}t}$:$$f(t)e^{?jm{w}_{0}t}=c_m{e}^{jm{w}_{0}t}{e}^{?jm{w}_{0}t}+\sum _{k=?\infty ,k=m}^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}{e}^{?jm{w}_{0}t}=c_m+\sum _{k=?\infty ,k=m}^{\infty }{c}_k{e}^{j(k?m)w_{0}t}$$
• 在基波周期內對兩端進行積分：$${\int }_{?T/2}^{T/2}f(t)e^{?jm{w}_{0}t}dt={\int }_{?T/2}^{T/2}{c}_{m}dt+{\int }_{?T/2}^{T/2}\sum _{k=?\infty ,k=m}^{\infty }{c}_k{e}^{j(k?m)w_{0}t}dt$$
  根據(jù)復指數(shù)信號的正交性，上式中求和項的積分為0，因此：
  $${\int }_{?T/2}^{T/2}f(t)e^{?jm{w}_{0}t}dt={\int }_{?T/2}^{T/2}{c}_{m}dt=c_{m}T$$
• 求出$c_m$:
  $$c_m=\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}f(t)e^{?jm{w}_{0}t}dt$$

方波信號的傅里葉系數(shù)

方波信號$x(t)$周期為$T$,幅度為1，脈寬為$\tau$,對方波來說，占空比為$1/2$,因此$T=2\tau$

-先求$c_0$
$$c_0=\frac{1}{T}{\int }_{?\tau /2}^{\tau /2}x(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_{?\tau /2}^{\tau /2}1dt=0.5$$

• 再來求$c_k$
  $$\begin{gathered} c_k=\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}x(t)e^{?jk{w}_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}(\cos k{w}_{0}t?j\sin k{w}_{0}t)dt \\ =\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}\cos k{w}_{0}tdt?j\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}\sin k{w}_{0}tdt \\ =\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}\cos k{w}_{0}tdt \\ =\frac{2}{k{w}_{0}T}{\int }_0^{T/2}\cos k{w}_{0}td(k{w}_{0}t) \\ =\frac{sin(k{w}_0\tau /2)}{k{w}_{0}T/2} \end{gathered}$$
  由：$w_0=2\pi /T$,得：$w_{0}T=2\pi$
  又因為：$T=2\tau$,所以：$w_{0}2\tau =2\pi$，得到：$w_0\tau =\pi$
  得：
  $$c_k=\frac{1}{2}\frac{sin(k\pi /2)}{k\pi /2}=\frac{1}{2}sinc(\frac{k}{2})$$

周期矩形信號的傅里葉級數(shù)

在方波信號的傅里葉系數(shù)推導過程中，我們用$\tau$表示脈沖的寬度，用$T$表示脈沖的周期，得出傅里葉系數(shù)的表達式：
$$c_k=\frac{sin(k{w}_0\tau /2)}{k{w}_{0}T/2}$$
回顧整個推導過程可以發(fā)現(xiàn)，這個結果對幅值為1，脈沖為$\tau$,周期為$T$的周期矩形信號也是適用的。
因為：$w_0=2\pi /T$,所以：$w_0=2\pi$
假定占空比為$1/n$,即：$T=n\tau$,所以：$w_{0}n\tau =2\pi$,得到：$w_0\tau =2\pi /n$,代入上面的傅里葉系數(shù)表達式，得到：
$$c_k=\frac{1}{n}\frac{sin(k\pi /n)}{k\pi /n}=\frac{1}{n}sinc(\frac{k}{n})$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的周期信号的傅里叶级数展开的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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