部分分式展開以及系數(shù)的留數(shù)法求解

有理真分式分解為部分分式

當(dāng)有一個(gè)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式$P(x)$

則其一定可以寫為如下的形式
$$P(x)=A_1(x?a{)}^{n?1}+A_2(x?a{)}^{n?2}+?+A_{n?1}(x?a)+A_n$$
因此兩邊同時(shí)除以$(x?a{)}^n$次后就可以得到
$$\frac{P(x)}{(x?a{)}^n}=\frac{A_1}{x?a}+\frac{A_2}{(x?a{)}^2}+?+\frac{A_n}{(x?a{)}^n}$$
因此可以得出結(jié)論，如果存在一個(gè)有理真分式$\frac{P(x)}{(x?a{)}^n}$，（因?yàn)槭钦娣质剿?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$P(x)$的次數(shù)小于n），則該真分式一定可以化為上式右側(cè)的部分分式的形式

現(xiàn)在有一個(gè)有理真分式$\frac{P(x)}{Q(x)}$，$Q(x)$為n次多項(xiàng)式

對(duì)分母$Q(x)$進(jìn)行因式分解，

（1）假如$Q(x)$有且只有k個(gè)不同的實(shí)根，沒有虛根，則可因式分解為
$$Q(x)=\prod _{i=1}^k(x?a_i{)}^{p_i}$$
其中$a_i$是$Q(x)$的$p_i$重根，$\sum p_i=n$

這種情況下，可以將有理真分式$\frac{P(x)}{Q(x)}$，按照如下公式化為部分分式的和
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{p_i}\frac{A_{ij}}{(x?a_i{)}^j}$$
（2）假如n次多項(xiàng)式$Q(x)$不只有實(shí)根，還有復(fù)根，那么其依然滿足因式分解定理，即在實(shí)數(shù)域上可以分解為如下形式
$$Q(x)=a_0?\prod _{i=1}^k(x?a_i{)}^{p_i}\prod _{i=1}^l(x^2+b_{i}x+c_i{)}^{q_i}$$

$$\sum p_i+2\sum q_i=n$$

這種情況下，可以將有理真分式$\frac{P(x)}{Q(x)}$，按照如下公式化為部分分式的和
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{p_i}\frac{A_{ij}}{(x?a_i{)}^j}+\sum _{i=1}^l\sum _{j=1}^{q_i}\frac{B_{ij}x+C_{ij}}{(x^2+b_{i}x+c_i{)}^j}$$

利用留數(shù)和留數(shù)定理求部分分式的系數(shù)

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{p_i}\frac{A_{ij}}{(x?a_i{)}^j}+\sum _{i=1}^l\sum _{j=1}^{q_i}\frac{B_{ij}x+C_{ij}}{(x^2+b_{i}x+c_i{)}^j}$$

假定零極點(diǎn)可以是復(fù)數(shù)，則依舊可以化為如下形式：
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{p_i}\frac{A_{ij}}{(x?a_i{)}^j}$$
則系數(shù)$A_{ij}$，根據(jù)留數(shù)定理可以用如下公式求出
$$A_{ij}=\frac{1}{(p_i?j)!}\underset{x\to a_i}{\lim }{[(x?a_i{)}^{p_i}\frac{P(x)}{Q(x)}]}^{(p_i?j)}$$
右上角的（j-1）表示求j-1階導(dǎo)數(shù)

例如：
$$\frac{x^2+5x?2}{x^3+3x^2+3x+1}$$
其中$Q(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1{)}^3$

因此
$$\frac{x^2+5x?2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{K_1}{x+1}+\frac{K_2}{(x+1{)}^2}+\frac{K_3}{(x+1{)}^3}$$

$$K_3=\underset{x\to ?1}{\lim }{[(x+1{)}^3?\frac{x^2+5x?2}{x^3+3x^2+3x+1}]}^{(3?3)}=\underset{x\to ?1}{\lim }[x^2+5x?2]=?6$$

$$K_2=\underset{x\to ?1}{\lim }{[(x+1{)}^3?\frac{x^2+5x?2}{x^3+3x^2+3x+1}]}^{(3?2)}=\underset{x\to ?1}{\lim }[2x+5]=3$$

$$K_1=\frac{1}{2!}?\underset{x\to ?1}{\lim }{[(x+1{)}^3?\frac{x^2+5x?2}{x^3+3x^2+3x+1}]}^{(3?1)}=\frac{1}{2}?\underset{x\to ?1}{\lim }[2]=1$$

因此
$$\frac{x^2+5x?2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{3}{(x+1{)}^2}?\frac{6}{(x+1{)}^3}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的有理函数多项式分解以及系数的留数法求解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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