Pareto理論

• 一、前言
• 二、Pareto相關概念
• • 2.1 Pareto解
  • 2.2 Pareto改進
  • 2.3 Pareto最優
  • 2.4 Pareto最優集
  • 2.5 Pareto前沿面

一、前言

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帕累托最優法則（Pareto Optimality），也稱為帕累托效率、帕累托改善，是博弈論中的重要概念，并且在經濟學， 工程學和社會科學中有著廣泛的應用。

二、Pareto相關概念

最近在學習多目標優化等NSGA-II相關算法，在多目標優化中，需要找到Pareto前沿面，關于Pareto前沿面以及解的選取后面會提到，奈何Pareto相關概念以及名詞解釋太多，故寫下這篇文章幫助理解。

2.1 Pareto解

Pareto解又稱非支配解或不受支配解，有多個目標時，由于目標之間的沖突和無法比較的現象，一個解在某個目標上是最好的，在其他的目標上可能是最差的，這些在改進任何目標函數的同時，必然會削弱至少一個其他目標函數的解稱為非支配解或Pareto解。

2.2 Pareto改進

Pareto改進是指一種變化，在沒有使任何人境況變壞的前提下，使得至少一個人變得更好。一方面，帕累托最優是指沒有進行Pareto改進的余地的狀態；另一方面，Pareto改進是達到帕累托最優的路徑和方法。
注意：此概念等價于弱Pareto最優
引用知乎某位大佬的理解：多目標規劃問題的絕對最優解、有效解（帕累托最優解）和弱有效解（弱帕累托最優解）

• 如圖所示：假設我們的優化目標最小化兩個函數的值，決策變量為橫坐標x

注：圖中所示有誤，可以發現在x取[2,4]的時候，達到Pareto改進。

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綜上所述，引用一句話，Pareto改進可以理解為：“利己而不損人”，即保持某一個分量不變，其他分量可以持續減少”，在這個狀態下總效益還可以不斷增加，所以沒有達到強最優解，直到“非損人而不能利己”之后，才算達到了帕累托最優狀態。

2.3 Pareto最優

Pareto最優：從定義上講，帕累托最優描述的是一種資源最優化配置的狀態。在帕累托最優的條件下，是沒有辦法在不讓某一參與資源分配的一方利益受損的情況下，令另一方獲得更大利益的。

舉例：拿打麻將的例子來闡述
比如一局四人麻將，什么情況下是Pareto最優態？答案是每場游戲結束都是Pareto最優？為什么這么說呢？回到我們的定義，在帕累托最優的條件下，是沒有辦法在不讓某一參與資源分配的一方利益受損的情況下，令另一方獲得更大利益的。我們假設每局麻將都是一人贏，其他人輸，在這種情況下，有什么好方法讓贏得人獲得更大利益，輸的人利益不受損失嗎？答案顯然是沒有的，因為這就是游戲的規則，贏得人如果贏得更多，也以為著輸的人輸的多，就好比如果每個輸家給贏家5元，這時候每個輸家利益（-5元），贏家利益（+15）。無論怎么改變這個值，都達不到讓贏家利益增加，輸家利益不受損。所以無論誰贏誰輸都是Pareto最優。

另外注意：Pareto最優解也可以有多個。比如上圖例子中綠色線標出的一部分。無論決策變量取何值時，在這段區間上，都不可能使一個函數目標值更小，且使其他函數目標值不變或者更小。

2.4 Pareto最優集

Pareto最優集是一組目標函數最優解的集合，剛剛講的區間就是一組Pareto最優集

2.5 Pareto前沿面

Pareto前沿面是指最優集在空間形成的曲面，一般而言優化目標是兩個函數時，形成一條線，優化目標是多個函數時，則會形成一個曲面，關于此部分的更深一步理解，可以參考：
CSDN博客：帕累托最優解集

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以上就是Pareto所了解的相關概念，后續會學習介紹多目標的相關算法。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化（一）：Pareto理论相关概念解析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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