GPS從入門到放棄（六） — 開普勒軌道參數

開普勒軌道參數是用于描述衛星軌道的，GPS衛星的無攝橢圓軌道運動就是用開普勒軌道參數來描述。參考GPS導航電文，電文中的星歷和歷書都是用開普勒軌道參數來描述的。

一套開普勒軌道參數包含6個參數：軌道升交點赤經、軌道傾角、近地點角距、長半徑、偏心率和真近點角。

• 軌道升交點赤經 ${\Omega }_0$ （Longitude of Ascending Node of Orbit Plane）
• 軌道傾角 $i_0$ （Inclination Angle）
• 近地點角距 $\omega$ （Argument of Perigee）
• 長半徑 $a$ （Semi-Major Axis of Orbit）
• 偏心率 $e$ （Eccentricity）
• 真近點角 $\nu$ （True Anomaly）

要想確定衛星的位置，首先要確定衛星運行軌道所在平面的位置。衛星軌道平面通過地心，與赤道面相交，其夾角就是軌道傾角。衛星軌道在軌道平面內，衛星沿著軌道由南向北運行時與赤道面的交點稱為衛星赤道升交點，簡稱升交點。此升交點在赤道面內與春分點對地心的夾角即為軌道升交點赤經。有了軌道傾角和軌道升交點赤經，就可以確定衛星軌道平面相對赤道面的位置。

軌道平面確定后，需要確定軌道橢圓。近地點角距用于確定橢圓方位，它是近地點在軌道平面內與升交點相對地心的夾角，確定了軌道橢圓長軸的方向。再加上長半徑和偏心率，橢圓在軌道平面內的位置就確定下來了。

最后一個參數真近點角用于確定衛星在軌道橢圓上的相對位置，它定義為衛星當前位置在軌道平面內與近地點相對地心的夾角。

于是通過這一套開普勒軌道參數，衛星相對赤道的空間位置就確定了。

對于一顆無攝狀態下運行的衛星來說，這一套開普勒參數除了真近點角以外都是常數，而真近點角是時間的函數，且和時間的關系比較復雜。于是GPS衛星星歷并不直接給出真近點角 $\nu$，而是給出偏近點角 $E$（Eccentric anomaly）和平近點角 $M$（Mean Anomaly）。
其中在 $t$ 時刻的平近點角 $M$ 是以衛星平均角速度 $n$ 運行的角距，即
$$M=n(t?t_0)$$
偏近點角 $E$ 和平近點角 $M$ 的關系由開普勒方程給出，即
$$M=E?e\sin E$$
而偏近點角 $E$ 和真近點角 $\nu$ 的關系如下：
$$\cos \nu =\frac{\cos E?e}{1?e\cos E}$$
$$\sin \nu =\frac{\sqrt{1?e^2}\sin E}{1?e\cos E}$$
$$\nu =\arctan \left(\frac{\sqrt{1?e^2}\sin E}{\cos E?e}\right)$$

總結

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