函數與極限

1 函數與映射??????????????

1)?????理解函數的根本原理--映射的一種情況，實數集到實數集的映射???????????

2)?????映射法則，也就是函數法則，自變量與應變量之間的法則

3)?????函數的特點：

a)??????有界性? 難度最大，需要構造不等式

b)??????單調性 利用單調性證明不等式

c)???????奇偶性

d)??????周期性 注意周期變化，對應的函數是等價的

2 數列極限

???????????????????????????

1)??????定義：數列{Xn}在A的去心鄰域中（Xn元素隨著n的增大，而增大），存在N，N為正整數，當n > N時，對于任何一個e > 0，滿足????????????????????????????

??????????????????????????????????????????????????????? Xn- A < e A為常數???????????????????????? ????????????????????

??????????????????????????????????????????????????????? A就是這個數列的極限

????????????? ?????? 也就是數列中所有的元素，隨著n下標的增大，越來越接近A????????????????

2)??????結合幾何模型理解???????????????????

3 函數極限

1)??????趨向于有限值的函數極限，定義：函數在某去心鄰域((a -r,a + r))中有定義，當存在r > 0，對于所有的e> 0，在區間(a - r,a + r)上，滿足??????????????

??????????????????????????????????????????????????????? f(x)- A < e?? A為常數

??????????????????????????????????????????????????????? 則稱A為f(x)在(a - r,a + r)上的極限

2)??????趨向于無窮大的函數極限，定義：函數大于某一 【正數X】有定義（函數區間為(X,無窮大)），對于所有的e > 0，當|x| > X時（函數有定義）滿足?

|f(x) - A |< e A為常數

3)??????函數極限是基于函數模型，也就是一個二維的變化過程，自變量為變化動力，應變量反映變化現象->逐漸趨向于某個確切的數值 A

???????????????????????????????????????????i.???????????自變量為變化動力：也就意味著，求函數極限，必須要明確函數定義域，并且函數在定義域上有定義???????????????????

4)??????數列極限是基于數列模型，也就是一個一維的變化過程，變化動力是下標n，數據項反映變化現象->逐漸趨向于某個確切的數值 A

???????????????????????????????????????????i.???????????變化動力是下標n：也就意味著，會有一個下標N作為分界點，下標 >N 的數據項的數值與 極限A 越靠近

4 極限的存在準則? 兩個重要的極限

1)??????夾逼準則

??????????????????????????? 難點在于如何構造不等式兩端， 1*最大項 <??????? < 項數*最大項

2)??????有界單調數列

???????????????????????????????????????????i.???????????證明有界 -> 構造不等式? 難點

??????????????????????????????????????????ii.???????????單調：一般情況下不需要使用求導公式，而是簡單的 前項 - 后項? 前項/后項即可判定單調性

3)??????重要極限

a)??????? ?或 ?

????????????????????????????????????????????i.???????????是型的極限

??????????????????????????????????????????ii.???????????? =? ? 前提是滿足型的極限

????????????????????????????????????????iii.???????????? =? ? 前提是滿足型的極限

????????????????????????????????????????iv.???????????難點在，構造型的極限的極限

b)???????= 1

5 極限的運算法則

1)??????有窮個無窮小相加 = 無窮小

2)??????無窮小 * 有界量 = 無窮小 （0）? 經常用到，求極限運算時

3)??????? 極限存在這是個大前提 使用極限運算法則時應該是驗證

a)?????? 減法也滿足

b)????

c)???????b

6 無窮小 無窮大

1)??????無窮小、無窮大都是一個變過的過程，而不是一個確切的數值

2)??????無窮小可以用0表示

3)?????在?函數f(x)具有極限A 的充分必要條件是 ?f(x) = A + a，a是無窮小

7 泰勒公式 *****

1)??????泰勒公式：將某個函數，分解成由指數函數構成的多項式

2)??????目的是求近似值，就意味著總是有誤差的，沒有精確的值。泰勒公式展開向越多，數值越精確

3)??????泰勒公式用于求近似值? 與 ?無窮小/大 近似值不謀而合，在求極限中，

時，都可以用泰勒公式。（注意前提，不滿足的話，就要配）

4)??????無窮小替換原理就是泰勒公式的變形

a)??????帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式

b)??????帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式

只是一個符號，代表比n更高階的項

5)??????無窮下替換背公式

7 無窮小與無窮大的比較

1)??????高階無窮小 0

a)???????= 0?? ，記作

2)??????低階無窮小

a)???????= ?? ，也稱為極限不存在

3)??????同階無窮小

a)???????= c ??

4)??????等價無窮小

a)???????=1?? ?記作?~

8 函數的連續性與間斷點

1)??????連續性

a)??????則函數在點連續

???????????????????????i.????????極限必須存在

??????????????????????ii.????????在處有定義

????????????????????????????iii.???????????“=” 成立

b)??????判斷函數是否連續就從這三個條件依次判斷，是否間斷也是如此，只要一個條件不滿足，就間斷

c)???????左連續

????????????????????????????????i.???????????函數在區間（在該區間上連續）的右端點連續

d)??????右連續

????????????????????????????????i.???????????函數在區間（在該區間上連續）的左端點連續

2)??????間斷點

a)??????一般存在于

????????????????????????????????i.???????????分母為0的點

??????????????????????????????ii.???????????函數無定義的點

b)??????第一類間斷點：間斷點的左右極限都存在

?

????????????????????????????????i.???????????可去間斷點?????????

?存在，但是無定義或 ，但左右極限相等

c)???????第二類間斷點：除了第一類間斷點就是第二類間斷點

????????????????????????????????i.???????????無窮間斷點

??????????????????????????????ii.???????????跳躍間斷點

9 連續函數的運算與初等函數的連續性

1)??????連續函數

a)??????函數連續，那么該函數的反函數也連續，單調性也是一致的

b)??????兩個函數在點連續，那么他們的和、差、積、商都是連續的

c)???????組成復合函數的子函數連續，那么復合函數也是連續的

2)??????初等函數的連續性

a)??????基本初等函數在其定義域中是連續的

b)??????一切初等函數在其定義區間是連續的

????????????????????????????????i.???????????定義區間是包含在定義域中的

10 洛必達法則 *****

1)??????作用于? ?型的，如果不是這兩種類型，則需要構造

2)???????

a)??????條件

????????????????????????i.?????????時，函數f(X) g(X) 都趨于0 ????????????? 不是

???????????????????????ii.????????在點a的去心鄰域，?都存在，且? 不是在某個點有定義

?????????????????????????????iii.???????????存在，或為

b)????? ?

c)????????不存在，但是仍然可能存在

3)??????用洛必達法則求極限

a)??????首先檢查極限是否為未定型? ?

b)??????求導后，代數式更復雜了，應該化簡原式

c)???????多次求導后，代數式和原式相同，應該化簡原式

d)???????轉為? ? ?，參數指數化

e)?????轉為? ? ? ，

????????????????????????????????i.???????????通分

??????????????????????????????ii.???????????倒代換，再通分

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学-《函数与极限》总结笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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