機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論

• 空間描述和變換
• • 位置姿態(tài)與坐標(biāo)系
  • • 位置的描述
    • 姿態(tài)的描述
    • 坐標(biāo)系的描述
  • 關(guān)于平移旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射
  • • 平移
    • 旋轉(zhuǎn)
    • 關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射
  • 平移算子和旋轉(zhuǎn)算子
  • • 平移算子
    • 旋轉(zhuǎn)算子
    • 變換算子
  • 變換方程
  • 姿態(tài)的其他表述

空間描述和變換

位置姿態(tài)與坐標(biāo)系

位置的描述

用三個(gè)相互正交的帶有箭頭的單位矢量來(lái)表示一個(gè)坐標(biāo)系{A}。用一個(gè)矢量來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)${}^{A}P$

并且可等價(jià)地被認(rèn)為是空間的一個(gè)位置，或者簡(jiǎn)單地用一組有序的三個(gè)數(shù)字來(lái)表示。矢量的各個(gè)元素用下標(biāo)x, y和z來(lái)標(biāo)明：$${}^{A}P=?\begin{array}{c}{P}_x\\ P_y\\ P_z\end{array}?$$

姿態(tài)的描述

為了描述物體的姿態(tài)，我們將在物體上固定一個(gè)坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對(duì)于參考系的表達(dá)。

我們用${\hat{X}}_B$,${\hat{Y}}_B$,${\hat{Z}}_B$來(lái)表示坐標(biāo)系{B}主軸方向的單位矢量。當(dāng)用坐標(biāo)系{A}的坐標(biāo)表達(dá)時(shí)， 它們被寫成${}^A{\hat{X}}_B$,${}^A{\hat{Y}}_B$,${}^A{\hat{Z}}_B$。我們很容易將這三個(gè)單位矢量按照${}^A{\hat{X}}_B$,${}^A{\hat{Y}}_B$,${}^A{\hat{Z}}_B$的順序排列組成一個(gè)3x3的矩陣，我們稱這個(gè)矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣，井且由于這個(gè)特殊旋轉(zhuǎn)矩陣是{B}相對(duì)千{A}的表達(dá)，所以我們用符號(hào)${}_B^{A}R$來(lái)表示:$${}_B^{A}R=\left[\begin{array}{ccc}{}^A{\hat{X}}_B& {}^A{\hat{Y}}_B& {}^A{\hat{Z}}_B\end{array}\right]=?\begin{array}{ccc}r11& r12& r13\\ r21& r22& r23\\ r31& r32& r33\end{array}?$$
標(biāo)量$r_{ij}$可用每個(gè)矢量在其參考坐標(biāo)系中單位方向上投影的分量來(lái)表示。于是，${}_B^{A}R$各個(gè)分量可用一對(duì)單位矢量的點(diǎn)積來(lái)表示：

${}_B^{A}R$為坐標(biāo)系{A}相對(duì)于{B}的描述，那么{B}相對(duì)于{A}的轉(zhuǎn)換可有${}_B^{A}R$的轉(zhuǎn)置得到；即：$${}_A^{B}R={}_B^A{R}^T$$

坐標(biāo)系的描述

用${}_B^{A}R$和${}^A{R}_{BORG}$來(lái)描述坐標(biāo)系{B},其中${}^A{R}_{BORG}$是確定坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)的位置矢量：$$\{B\}=\{{}_B^{A}R，{}^A{R}_{BORG}\}$$

關(guān)于平移旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射

平移

$${}^{A}P{=}^{B}P+{}^A{R}_{BORG}$$

旋轉(zhuǎn)

三個(gè)單位矢最排列在一起形成一個(gè)3 X 3的矩陣的列，我們稱此矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣。如果這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣專門是指{B}相對(duì)千{A}的描述，我們用符號(hào)${}_B^{A}R$來(lái)表示。
由于${}_B^{A}R$的列是{B}的單位矢量在{A}中的描述，所以${}_B^{A}R$的行是{A}的單位矢量在{B}中的描述。那么一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣即為三個(gè)一組的列向量或三個(gè)一組的行向量，即：$${}_B^{A}R=\left[\begin{array}{ccc}{}^A{\hat{X}}_B& {}^A{\hat{Y}}_B& {}^A{\hat{Z}}_B\end{array}\right]=?\begin{array}{c}{}^B{\hat{X}}_A^T\\ {}^B{\hat{Y}}_A^T\\ {}^B{\hat{Z}}_A^T\end{array}?$$
我們已知矢量相對(duì)于某坐標(biāo)系{B}的定義，現(xiàn)在想求矢量相對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系{A}的定義，且這兩個(gè)坐標(biāo)系
的原點(diǎn)重合。

$${}^A{p}_x{=}^B{\hat{X}}_A{.}^{B}P$$$${}^A{p}_y{=}^B{\hat{Y}}_A{.}^{B}P$$$${}^A{p}_z{=}^B{\hat{Z}}_A{.}^{B}P$$
可知{^A_B}R的行${}^B{\hat{X}}_A$，${}^B{\hat{Y}}_A$，${}^B{\hat{Z}}_A$，那 么可利用旋轉(zhuǎn)矩陣將式簡(jiǎn)化成：$${}^{A}P={}_B^A{R}^{B}P$$
這個(gè)式子進(jìn)行了一個(gè)映射一一它改變了矢量的描述一一將空間某點(diǎn)相對(duì)于{B}的描述${}^{B}P$轉(zhuǎn)換成了該點(diǎn)相對(duì)千{A}的描述${}^{A}P$。

關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射

用一個(gè)矩陣形式的算子表示從一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系的映射。 這比之外了的表達(dá)更簡(jiǎn)潔， 概念更明確。 定義一個(gè)4x4的矩陣算子并使用了4 X 1位置矢量， 式子就成為：

這個(gè)矩陣被稱為齊次變換矩陣。它完全可以被看作是用一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣形式表示了一般變換的旋轉(zhuǎn)和位移。

平移算子和旋轉(zhuǎn)算子

平移算子

一個(gè)矢量相對(duì)千一個(gè)坐標(biāo)系”向前移動(dòng)”時(shí)，既可以認(rèn)為是矢量”向前移動(dòng)”，也可以認(rèn)為坐標(biāo)系”向后移動(dòng)”，二者的數(shù)學(xué)表達(dá)式是相同的，只不過(guò)是觀察位置不同。

運(yùn)算的結(jié)果是得到一個(gè)新的矢量${}^A{P}_2$ $${}^A{P}_2{=}^A{P}_1{+}^{A}Q$$用矩陣算子寫出平移變換， 有：$${}^A{P}_2=D_Q(q{)}^A{P}_1$$式中， q沿矢量Q方向平移的數(shù)量， 它是有符號(hào)的。算子$D_Q$可被看成是一個(gè)特殊形式的齊次變換：$$D_Q=?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& q_x\\ 0& 1& 0& q_y\\ 0& 0& 1& q_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?$$

旋轉(zhuǎn)算子

將一個(gè)矢量 ${}^A{P}_1$用旋轉(zhuǎn)R變換成一個(gè)新的矢最${}^A{P}_2$。$${}^A{P}_2=R^A{P}_1$$

變換算子

將旋轉(zhuǎn)算子和平移算子應(yīng)用在一個(gè)坐標(biāo)系上，能夠的到一個(gè)齊次變換矩陣：經(jīng)旋轉(zhuǎn)R和平移Q的齊次變換矩陣與一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系經(jīng)旋轉(zhuǎn)R和平移Q的齊次 變換矩陣是相同的。

變換方程

表示坐標(biāo)系{D}可以用兩種不同的方式表達(dá)成變換相乘的形式，第一種：$${}_D^{U}T{=}_A^U{T}_D^{A}T$$第二種：$${}_D^{U}T{=}_B^U{T}_C^B{T}_D^{C}T$$將兩個(gè)表達(dá)式構(gòu)造成一個(gè)變換方程$${}_A^U{T}_D^{A}T{=}_B^U{T}_C^B{T}_D^{C}T$$
如有n個(gè)未知變換和n個(gè)變換方程， 這個(gè)變換可由變換方程解出。如果除了${}_C^{B}T$外均已知，求${}_C^{B}T$：$${}_C^{B}T{=}_B^U{T}^{?1}{}_D^A{T}_D^C{T}^{?1}$$

姿態(tài)的其他表述

首先將坐標(biāo)系{B}和一個(gè)已知參考坐標(biāo)系{A}重合。先將{B}繞${\hat{Z}}_B$旋轉(zhuǎn)α角， 再繞${\hat{Y}}_B$旋轉(zhuǎn)β角，最后繞${\hat{X}}_B$ 旋轉(zhuǎn)γ角。每次都是繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{B}的各軸旋轉(zhuǎn)而不是繞固定坐標(biāo)系{A}的各軸旋轉(zhuǎn)。這樣三個(gè)一組的旋轉(zhuǎn)被稱作歐拉角。注意每次旋轉(zhuǎn)所繞的軸的方位取決于上次的旋轉(zhuǎn)。由于三個(gè)旋轉(zhuǎn)分別是繞著$\hat{Z}$，$\hat{Y}$,$\hat{X}$，所以稱這種表示法為Z- Y-X歐拉角。$${}_B^A{R}_{z^{\prime }{y}^{\prime }{x}^{\prime }}=R_Z(\alpha )R_Y(\beta )R_X(\gamma )=?\begin{array}{ccc}c\alpha & ?s\alpha & 0\\ s\alpha & c\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}??\begin{array}{ccc}c\beta & 0& s\beta \\ 0& 1& 0\\ ?s\beta & 0& c\beta \end{array}??\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& c\gamma & ?s\gamma \\ 0& s\gamma & c\gamma \end{array}?$$

$${}_B^A{R}_{z^{\prime }{y}^{\prime }{x}^{\prime }}(\alpha ，\beta ，\gamma )=?\begin{array}{ccc}c\alpha c\beta & c\alpha s\beta s\gamma ?s\alpha c\gamma & c\alpha s\beta s\gamma +s\alpha c\gamma \\ s\alpha c\beta & s\alpha s\beta s\gamma +c\alpha c\gamma & s\alpha s\beta c\gamma ?c\alpha s\gamma \\ ?s\beta & c\beta s\gamma & c\beta c\gamma \end{array}?$$注意這個(gè)結(jié)果與以相反順序繞固定軸旋轉(zhuǎn)三次得到的結(jié)果完全相同！總之，這是一個(gè)不太直觀的結(jié)果：三次繞固定軸旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)和以相反順序三次繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)相同。
歐拉角的變換一共有24種，繞固定坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的有12種，繞變化后的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的有12種，方法都是一樣的，算出繞每個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，把后繞的矩陣右乘前繞的矩陣，就能得到整個(gè)旋轉(zhuǎn)的矩陣。

John J.Craig《機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論》（第四版）

總結(jié)

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