一 說在前頭

最近在學習《機器人學導論》（‘Introduction to ROBOTICS’-JOHN CRAIG）,文章內(nèi)容為學習過程中的摘抄或者感悟，方便今后查閱。
假如我們想控制一組機械臂抓取物體，對于六軸機械臂來說，實際上我們只需要讓末端執(zhí)行器能夠運動到指定位置并完成抓取控制即可。但有一個問題，與末端執(zhí)行器連接的是一系列關(guān)節(jié)和連桿的組合，要如何控制每個關(guān)節(jié)的角度才能使末端執(zhí)行器運動到指定位置呢？
這就需要用到操作臂運動學了，通過正逆運動學求解，我們可以簡單地利用計算機控制機械臂。
如下圖所示，為UR5機械臂的結(jié)構(gòu)圖，將來運動學建模分析時會用到。

二 連桿

2.1連桿和連桿連接的描述

Link：連桿——操作臂由剛性連桿組成

操作臂可以看成由一系列通過關(guān)節(jié)連接成運動鏈的剛體。
從操作臂的固定基座開始為連桿進行編號，稱固定基座為連桿0，第一個可動連桿為連桿1，以此類推，操作臂最末端的連桿為連桿n。

為了確定末端執(zhí)行器在三維空間的位置和姿態(tài)，操作臂至少需要6個關(guān)節(jié)（因為描述一個物體在空間的位姿需要6個參數(shù)——3個位置和3個姿態(tài)）。
要控制末端執(zhí)行器運動到指定位置，就需要控制每個關(guān)節(jié)的角度，關(guān)節(jié)與關(guān)節(jié)之間由連桿連接，要構(gòu)建運動學模型就需要知道連桿之間的關(guān)系。那么，要如何才能描述兩個連桿之間的關(guān)系？
用空間中的直線來表示關(guān)節(jié)軸，只要確定兩個關(guān)節(jié)軸（即兩條直線）之間的距離和扭轉(zhuǎn)角，就可以描述兩個連桿之間的相對位置。

2.1.1連桿長度

關(guān)節(jié)軸i-1和關(guān)節(jié)軸i之間的公垂線長度a_i-1即為連桿長度。
兩條不平行的直線之間有且只有一條公垂線，這樣我們就可以描述兩軸之間的距離關(guān)系了。

2.1.2連桿扭轉(zhuǎn)角

如上圖所示的α_i-1即為連桿扭轉(zhuǎn)角。

假設(shè)作一個平面，并使該平面與兩關(guān)節(jié)軸之間的公垂線垂直，然后把關(guān)節(jié)軸$i?1$和關(guān)節(jié)軸$i$投影到該平面上，在平面內(nèi)軸$i?1$按照右手法則繞a_i-1，轉(zhuǎn)向軸$i$，測量兩軸線之間的夾角，用轉(zhuǎn)角a_i-1,定義連桿$i?1$的扭轉(zhuǎn)角。(上圖中帶有三條短劃線的兩條線為平行線)當兩個關(guān)節(jié)軸線相交時，兩軸線之間的夾角可以在兩者所在的平面中測量，但是a_i-1沒有意義。在這種特殊情況下，a_i-1的大小和符號可以任意選取。

筆者認為，連桿長度和連桿扭轉(zhuǎn)角是用來確定兩個關(guān)節(jié)（即兩個軸）之間位置的兩個參數(shù)，我們想象兩個軸為兩條直線，只要確定了公垂線長度（連桿長度）和偏移角度（連桿扭轉(zhuǎn)角），就大致能夠確定兩條直線（兩個軸）之間的相對位置關(guān)系了。
那么確定了兩個關(guān)節(jié)之間的相對位置了，兩個連桿間的連接關(guān)系如何確定呢？

2.1.3 連桿偏距

從公垂線a_i-1與關(guān)節(jié)軸$i$的交點到公垂線a_i與關(guān)節(jié)軸$i$的交點的有向距離即連桿偏距d_i。當關(guān)節(jié)$i$為移動關(guān)節(jié)時，連桿偏距d_i是一個變量。

2.1.4 關(guān)節(jié)角

平移公垂線a_i-1和a_i繞關(guān)節(jié)軸$i$旋轉(zhuǎn)所形成的夾角，即關(guān)節(jié)角θ_i。圖中，標有雙斜線的直線為平行線。當關(guān)節(jié)$i$為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，關(guān)節(jié)角θ是一個變量。
連桿偏距是和關(guān)節(jié)角用來確定兩個連桿之間連接關(guān)系的兩個參數(shù)，我們想象兩個連桿為兩條線段（當然實際情況中不能直接把連桿當作是規(guī)則的線段，在這里我假設(shè)兩相鄰連桿可以等效為線段，并且與其對應的公垂線是重合的，想象一下這個特殊的例子，便于大家理解空間中連桿的關(guān)系），只要確定了兩線段（即公垂線）的距離（連桿偏距）和兩線段的偏移角度（即關(guān)節(jié)角），就大致能夠確定兩連桿之間的連接關(guān)系了。

2.1.5 連桿參數(shù)

綜上，機械臂的每個連桿都可以用4個運動學參數(shù)來描述，其中兩個參數(shù)用于描述連桿本身，另外兩個用于描述連桿之間的連接關(guān)系。這種用連桿參數(shù)描述的機構(gòu)運動關(guān)系的規(guī)則稱為Denavit-Hartenberg方法，即D-H參數(shù)方法。我們常用的是帶有轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的機械臂，那么這時θ_i就是關(guān)節(jié)變量，是我們可以控制的變量，其余三個參數(shù)不變，對于一個6關(guān)節(jié)的機械臂，我們只需要用3X6=18個參數(shù)，就可以描述運動學參數(shù)。

2.2 連桿參數(shù)在連桿坐標系中的表示方法

為了描述每個連桿與相鄰連桿之間的相對位置關(guān)系，需要在每個連桿上定義一個固連坐標系。根據(jù)固連坐標系所在連桿的編號對固連坐標系命名，如固連在連桿$i$上的固連坐標系稱為坐標系{$i$}。

下圖相對于上面的圖多了坐標系的描述：

這里引入的坐標系對后續(xù)分析運動學有很大的幫助。

坐標系{$i$}的$\hat{Z}$軸稱為$\hat{Z}$_i，并與關(guān)節(jié)軸{$i$}重合，坐標系{$i$}的原點位于公垂線a_i與關(guān)節(jié)軸$i$的交點處。$\hat{X}$_i沿a_i方向由關(guān)節(jié)指向關(guān)節(jié)$i+1$。 當a_i=0時，$\hat{X}$_i垂直于$\hat{Z}$_i和$\hat{Z}$_i+1所在的平面。按右手定則繞$\hat{X}$_i軸的轉(zhuǎn)角定義為α_i，$\hat{Y}$_i軸由右手定則確定,從而完成了對坐標系{$i$}的定義。

依照上述建立連桿坐標系的方法，我們可以定義連桿參數(shù)為：

連桿參數(shù)基準軸描述

ai	沿$\hat{X}$i軸	從$\hat{Z}$i移動到$\hat{Z}$i+1的距離
αi	繞$\hat{X}$i軸	從$\hat{Z}$i旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$i+1的角度
di	沿$\hat{Z}$i軸	從$\hat{X}$i-1移動到$\hat{X}$i的距離
θi	繞$\hat{Z}$i軸	從$\hat{X}$i-1旋轉(zhuǎn)到$\hat{X}$i的角度

上表十分有用，需要時刻牢記，相比于上節(jié)抽象的文字描述，這里的描述則相對簡潔易懂。

2.2.1 來分析一道例題

（例題為原書第3章的3.7節(jié)對兩種工業(yè)機器人的運動學問題中的PUMA 560部分）

Unimation PUMA560是一個六自由度機器人，所有關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(即這是一個6R機構(gòu))。圖3-18所示是所有關(guān)節(jié)角為零位時連桿坐標系的分布情況。圖3- 19所示是機器人前臂的一些詳細情況。


注意，當θ為0時，坐標系{0}(未在圖中表示)與坐標系{1}重合。還要注意，這臺機器人與許多工業(yè)機器人一樣，關(guān)節(jié)4、5和6的軸線相交于同一點，并且交點與坐標系{4}、{5}、{6}的原點重合，而且關(guān)節(jié)軸4、5、6相互垂直。圖3-20所示為機器人腕部機構(gòu)的運動簡圖。

那么該如何求出這組機械臂的D-H參數(shù)呢？
對照下表，對每個連桿進行分析

連桿參數(shù)基準軸描述

ai	沿$\hat{X}$i軸	從$\hat{Z}$i移動到$\hat{Z}$i+1的距離
αi	繞$\hat{X}$i軸	從$\hat{Z}$i旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$i+1的角度
di	沿$\hat{Z}$i軸	從$\hat{X}$i-1移動到$\hat{X}$i的距離
θi	繞$\hat{Z}$i軸	從$\hat{X}$i-1旋轉(zhuǎn)到$\hat{X}$i的角度

當$i=1$時
由于坐標系{0}和坐標系{1}重合，故
沿$\hat{X}$₀軸，從$\hat{Z}$₀移動到$\hat{Z}$₁的距離為0；
繞$\hat{X}$₀軸，從$\hat{Z}$₀旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$₁的角度為0；
沿$\hat{Z}$₁軸，從$\hat{X}$₀移動到$\hat{X}$₁的距離為0；
由于關(guān)節(jié)軸1為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，所以θ₁為可變參數(shù)。

連桿參數(shù)基準軸描述結(jié)果

a0	沿$\hat{X}$0軸	從$\hat{Z}$0移動到$\hat{Z}$1的距離	0
α0	繞$\hat{X}$0軸	從$\hat{Z}$0旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$1的角度	0
d1	沿$\hat{Z}$1軸	從$\hat{X}$0移動到$\hat{X}$1的距離	0
θ1	繞$\hat{Z}$1軸	從$\hat{X}$0旋轉(zhuǎn)到$\hat{X}$1的角度	θ1

當$i=2$時
由于坐標系{1}原點和坐標系{2}原點重合，但坐標軸之間作了旋轉(zhuǎn)變換，故
沿$\hat{X}$₁軸，從$\hat{Z}$₁移動到$\hat{Z}$₂的距離為0；
繞$\hat{X}$₁軸，從$\hat{Z}$₁旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$₂的角度為-90°；
（這里的-90°怎么來的？在上一篇文章最后的4.3節(jié)提到了坐標軸旋轉(zhuǎn)角度正負的判斷方法：
θ的符號由右手定則確定，即大拇指指向$\hat{X}$₁正方向，那么食指就是$\hat{Y}$₁，中指就是$\hat{Z}$₁，然后大拇指朝向屏幕或紙的里面，坐標系也跟著右手旋轉(zhuǎn)，觀察$\hat{Z}$₂相對于$\hat{Z}$₁是順時針還是逆時針轉(zhuǎn)動，如果是順時針轉(zhuǎn)動，那θ為正；否則為負。所以這邊的旋轉(zhuǎn)角度是-90°，即逆時針旋轉(zhuǎn)90°。）
沿$\hat{Z}$₂軸，從$\hat{X}$₁移動到$\hat{X}$₂的距離為0；
由于關(guān)節(jié)軸2為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，所以θ₂為可變參數(shù)。

連桿參數(shù)基準軸描述結(jié)果

a1	沿$\hat{X}$1軸	從$\hat{Z}$1移動到$\hat{Z}$2的距離	0
α1	繞$\hat{X}$1軸	從$\hat{Z}$1旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$2的角度	-90°
d2	沿$\hat{Z}$2軸	從$\hat{X}$1移動到$\hat{X}$2的距離	0
θ2	繞$\hat{Z}$2軸	從$\hat{X}$1旋轉(zhuǎn)到$\hat{X}$2的角度	θ2

當$i=3$時
如圖3-18，
沿$\hat{X}$₂軸，從$\hat{Z}$₂移動到$\hat{Z}$₃的距離為a₂；
繞$\hat{X}$₂軸，從$\hat{Z}$₂旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$₃的角度為0；
沿$\hat{Z}$₃軸，從$\hat{X}$₂移動到$\hat{X}$₃的距離為d₃；
由于關(guān)節(jié)軸3為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，所以θ₃為可變參數(shù)。

連桿參數(shù)基準軸描述結(jié)果

a2	沿$\hat{X}$2軸	從$\hat{Z}$2移動到$\hat{Z}$3的距離	0
α2	繞$\hat{X}$2軸	從$\hat{Z}$2旋轉(zhuǎn)到$\hat{Z}$3的角度	-90°
d3	沿$\hat{Z}$3軸	從$\hat{X}$2移動到$\hat{X}$3的距離	0
θ3	繞$\hat{Z}$3軸	從$\hat{X}$2旋轉(zhuǎn)到$\hat{X}$3的角度	θ3

后面幾個關(guān)節(jié)的D-H參數(shù)計算方式同上，就不一一列舉了。最終的連桿參數(shù)表如下：

2.2.2 UR5機械臂的連桿參數(shù)

根據(jù)文章開頭的UR5機械臂結(jié)構(gòu)圖和官方的文檔數(shù)據(jù)我們也可以計算出其D-H參數(shù)如下：

三 操作臂運動學

我們已經(jīng)能夠分析相鄰連桿之間的關(guān)系，下一步就是利用求得的連桿參數(shù)將獨立的相鄰連桿之間的變換聯(lián)系起來，求出連桿n相對于連桿0的位置和姿態(tài)。

3.1 連桿變換的推導

在這一節(jié)，我們將導出相鄰連桿間坐標系變換的一般形式，然后將這些獨立的變換聯(lián)系起來求出連桿n相對于連桿0的位置和姿態(tài)。
我們希望建立坐標系{i}相對于坐標系{i-1}的變換。一般這個變換是由四個連桿參數(shù)構(gòu)成的函數(shù)。對任意給定的機器人，這個變換是只有一個變量的函數(shù)，另外三個參數(shù)是由機械系統(tǒng)確定的。通過對每個連桿逐一建立坐標系，我們把運動學問題分解成n個子問題。為了求解每個子問題，即^i-i_iT，我們將每個子問題再分解成四個次子問題。四個變換中的每一個變換都是僅有一個連桿參數(shù)的函數(shù)，通過觀察能夠很容易寫出它的形式。
首先我們?yōu)槊總€連桿定義.三個中間坐標系一{P}，{Q}和{R}。下圖所示是與前述一樣的一對關(guān)節(jié)，圖中定義了坐標系{P}、{Q}和{R}。注意，為了表示簡潔起見，在每一個坐標系中僅給出了$\hat{X}$軸和$\hat{Z}$軸。

把在坐標系{i}中定義的矢量變換成在坐標系{i- 1}中的描述，這個變換矩陣可以寫成：

即

其中

上式還可以寫作

即

這里Screw_Q(r，φ)代表沿Q軸平移r、再繞Q軸旋轉(zhuǎn)角度φ的組合變換。
則有

3.2 連桿變換的連乘

如果已經(jīng)定義了連桿坐標系和相應的連桿參數(shù)，就能直接建立運動學方程。分別計算出各個連桿變換矩陣就能得出各個連桿參數(shù)的值。把這些連桿變換矩陣連乘就能得到一個坐標系{N}相對于坐標系{0}的變換矩陣:

變換矩陣⁰_NT是關(guān)于n個關(guān)節(jié)變量的函數(shù)。如果能得到機器人關(guān)節(jié)位置傳感器的值，機器人末端連桿在笛卡兒坐標系里的位置和姿態(tài)就能通過⁰_NT計算出來。.

3.3 繼續(xù)2.2.1節(jié)例題的分析

根據(jù)

我們可以求出每個連桿的變換矩陣：

再由連桿變換的連乘，我們可以得到⁰₆T。
有：

式中c₅是cosθ₅的縮寫，s₆ 是sinθ₆的縮寫等等。

另外有：

這里用了二角和公式：

則：

式中

最后得到：

式中

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器人学导论——操作臂运动学的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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