一、線性規(guī)劃

什么是線性規(guī)劃問題？

線性規(guī)劃是在一系列的線性條件的約束下，從而規(guī)定了可行解，在通過具體的目標(biāo)函數(shù)，求得滿足函數(shù)的最優(yōu)解 。
例如平常的線性規(guī)劃函數(shù)的例子：

在matlab中使用matlab標(biāo)準(zhǔn)的格式：

若是目標(biāo)函數(shù)是求解最大值的話，則取-C形式：
例如線性規(guī)劃：

的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：

二、linprog函數(shù)

在matlab中，linprog函數(shù)可以求解線性規(guī)劃問題，用于尋找目標(biāo)函數(shù)的最小值。
matlab中，規(guī)劃模型的標(biāo)注寫法如下：

（1）[x,fval]=linprog(f,A,b)
用于求解：

（2）[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
用于求解：

如果沒有等式存在，就用[]代替Aeq和beq。

（3）[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
用于求解：

返回的x為所求的結(jié)果，fval為最值。
linprog中fval都是求最小值，這個(gè)要記住。
A和b是不等式約束條件的參數(shù)。
Aeq和beq是等式約束條件的參數(shù)。
lb和ub為x取值的取值范圍。

例如：
a+b+c<30
c<15
b<10
函數(shù)：max f = 10a+20b+30c
因?yàn)閘inprog求的是最小值，我們將原式改為：
f = -(10a+20b+30c)
這樣我們有了函數(shù)f=[-10;-20;-30];，然后：
根據(jù)約束條件不等式，有：
A = [1 1 1;
0 0 1;
0 1 0] ;
b = [30;15;10] ;
但這樣算出來的結(jié)果大家會(huì)發(fā)現(xiàn)是小數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)。
因此我們加入a、b、c取值的上下限：
lb = [0 0 0]
ub = [30 30 30]
如果在計(jì)算中需要得到小數(shù)的結(jié)果，只要寫成0.00或者30.00就可以了，最后帶入函數(shù)計(jì)算就可以了。

三、intlinprog函數(shù)

intlinprog()是matlab中用于求解混合整數(shù)線性規(guī)劃(Mixed-integer linear programming)的一個(gè)函數(shù)，用法基本和linprog差不多。
語法：

x=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

與linprog相比，多了參數(shù)intcon,代表了整數(shù)決策變量所在的位置。
例如：

四、Lingo軟件

LINGO是用來求解線性和非線性優(yōu)化問題的簡(jiǎn)易工具。
所有代碼在 Lingo Model - Lingo 1中編寫，寫完后點(diǎn)擊工具條上的紅色的靶子運(yùn)行。

例如：

代碼：

max=x1+x2; x1+9/14*x2<=51/14; -2*x1+x2<=1/3; @gin(x1);@gin(x2); end

LINGO提供了大量的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)
@abs(x) 返回x 的絕對(duì)值
@sqrt() 開方
@sin(x) 返回x 的正弦值，x 采用弧度制
@cos(x) 返回x 的余弦值
@tan(x) 返回x 的正切值
@exp(x) 返回常數(shù)e 的x 次方
@log(x) 返回x 的自然對(duì)數(shù)
@lgm(x) 返回x 的gamma 函數(shù)的自然對(duì)數(shù)
@sign(x) 如果x<0 返回-1；否則，返回1
@floor(x) 返回x的整數(shù)部分。當(dāng)x>=0 時(shí)，返回不超過x 的最大整數(shù)；當(dāng)x<0
時(shí)，返回不低于x 的最大整數(shù)。
@smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最小值

變量界定函數(shù)
變量界定函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)變量取值范圍的附加限制，共4種
@bin(x) 限制x 為0 或1 — 用于0-1規(guī)劃
@bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
@free(x) 取消對(duì)變量x 的默認(rèn)下界為0 的限制，即x 可以取任意實(shí)數(shù)
@gin(x) 限制x 為整數(shù)
在默認(rèn)情況下，LINGO 規(guī)定變量是非負(fù)的，也就是說下界為0，上界為+∞。@free 取消
了默認(rèn)的下界為0的限制，使變量也可以取負(fù)值。@bnd用于設(shè)定一個(gè)變量的上下界,它也可 以取消默認(rèn)下界為0的約束。
注意：
LINGO總是根據(jù)“MAX=”或“MIN=”尋找目標(biāo)函數(shù)；
程序語句的順序一般不重要，既可以隨意調(diào)換；
程序運(yùn)用函數(shù)時(shí)都是以@開頭；
程序中的變量默認(rèn)為非負(fù)數(shù)，想要改變變量類型必須有相應(yīng)函數(shù)調(diào)整
程序中變量不區(qū)分大小寫；
語句必須以分號(hào)結(jié)尾；
注釋以!開始，且注釋語句后面必須也有分號(hào)，注釋默認(rèn)注釋到第一個(gè)分號(hào)處，意思是分號(hào)前面會(huì)全部被注釋掉。

五、實(shí)例

根據(jù)外場(chǎng)改裝合同要求，改裝備件需于每季度末分別提供10、15、25、30。已知該專業(yè)廠各季度末的生產(chǎn)能力及每套產(chǎn)品的成本構(gòu)成，如果專業(yè)廠生產(chǎn)出的備件當(dāng)季不能交付，每套積壓一季度需存儲(chǔ)、維護(hù)等的費(fèi)用0.15萬元，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，要求在完成合同的情況下，使該全年生產(chǎn)（包括存儲(chǔ)、維護(hù)）費(fèi)用最小。

解：
設(shè)x_ij為第i季度生產(chǎn)的用于第j季度交貨產(chǎn)品的數(shù)量，則由題意得：
x_11=10
x_12+x_22=15
x_13+x_23+x_33=25
x_14+x_24+x_34+x_44=30

又由生產(chǎn)能力的要求，有
x_44<=10
x_33+x_34<=30
x_22+x_23+x_24<=35
x_11+x_12+x_13+x_14<=25

再設(shè)c_ij表示第i季度生產(chǎn)的用于第j季度交貨的每臺(tái)產(chǎn)品的實(shí)際成本，其值如下表：

目標(biāo)函數(shù)為：
min f = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44;

MATLAB求解：

上式中，Aeq為左邊的矩陣，beq為等號(hào)右邊的向量；

上式中，A為左邊的矩陣，b為等號(hào)右邊的向量；

% 線性規(guī)劃問題 % 目標(biāo)函數(shù)： % minF = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25 + x14 + ... % 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + ... % 11 * x33 + 11.15 * x34 + ... % 11.30 * x44;minfun = [10.8 ,10.95 , 11.10 , 11.25 ,11.10 ,11.25,11.40 ,11,11.15,11.30]'; Aeq = zeros(10); Aeq(1,1) = 1; Aeq(2,2) = 1; Aeq(2,5) = 1; Aeq(3,3) = 1; Aeq(3,6) = 1; Aeq(3,8) = 1; Aeq(4,4) = 1; Aeq(4,7) = 1; Aeq(4,9) = 1; Aeq(4,10) = 1; beq = [10,15,25,30,0,0,0,0,0,0]'; A = zeros(10); A(1,1) = 1; A(1,2) = 1; A(1,3) = 1; A(1,4) = 1; A(2,5) = 1; A(2,6) = 1; A(2,7) = 1; A(3,8) = 1; A(3,9) = 1; A(4,10) = 1; b = [25,35,30,10,0,0,0,0,0,0]'; [x,y]=intlinprog(minfun,1:10,A,b,Aeq,beq,zeros(10,1)',[]); disp('x的值為：'); x disp('最小值為：'); y

運(yùn)行結(jié)果：
x的值為：

100 150 1500 10 20 10

最小值為：

887

Lingo求解：

min=10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44; x11=10; x12+x22=15; x13+x23+x33=25; x14+x24+x34+x44=30; x11+x12+x13+x14<=25; x22+x23+x24<=35; x33+x34<=30; x44<=10; end

運(yùn)行結(jié)果：

最小值為：887

由此可見，MATLAB和lingo所求的最優(yōu)解一致，但是每個(gè)變量值x并不一樣，說明規(guī)劃有多組解。
不足之處，請(qǐng)多指教！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性规划 | 用实例展示Matlab和lingo求解线性规划问题的差异的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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