首先給出互相關函數定義：
$$r_{sx}(m)=E[s(n)x(n?m)]$$
以及自相關矩陣定義：
$$R_{xx}(i,j)=E[x(n?i)x(n?j)]$$
開始推，令信號模型為：
$$\begin{array}{rl}\hat{s}(n)& =h(n)?(s(n)+v(n))\\ & =h(n)?x(n)\\ & =\sum _{i=0}^{M}h(i)x(n?i)\end{array}$$
其中： $h=[h(0),h(1),?,h(M){]}^T$為濾波器系數，$M$為濾波器階數

誤差定義為：
$$e(n)=s(n)?\hat{s}(n)$$
采用最小均方誤差準則，均方誤差定義為：
$$\begin{array}{rl}E[e(n{)}^2]& =E[(s(n)?\hat{s}(n){)}^2]=E[(s(n)?h(n)?x(n){)}^2]\\ & =E[s(n{)}^2]?2E[s(n)\sum _{i=0}^{M}h(i)x(n?i)]+E[(\sum _{i=0}^{M}h(i)x(n?i){)}^2]\end{array}$$
其中：
$$\begin{array}{rl}E[s(n)\sum _{i=0}^{M}h(i)x(n?i)]& =E[\sum _{i=0}^{M}h(i)s(n)x(n?i)]\\ & =\sum _{i=0}^{M}h(i)E[s(n)x(n?i)]\\ & =\sum _{i=0}^{M}h(i)r_{sx}(i)\\ & =h^T{r}_{sx}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}E[(\sum _{i=0}^{M}h(i)x(n?i){)}^2]& =E[\sum _{i=0}^M\sum _{j=0}^{M}h(i)h(j)x(n?i)x(n?j)]\\ & =\sum _{i=0}^M\sum _{j=0}^{M}h(i)h(j)E[x(n?i)x(n?j)]\\ & =\sum _{i=0}^M\sum _{j=0}^{M}h(i)h(j)R_{xx}(i,j)\\ & =h^T{R}_{xx}h\end{array}$$

所以均方誤差可以表示為：
$$\begin{array}{rl}E[e(n{)}^2]& =E[s(n{)}^2]?2E[s(n)\sum _{i=0}^{M}h(i)x(n?i)]+E[(\sum _{i=0}^{M}h(i)x(n?i){)}^2]\\ & =E[s(n{)}^2]?2h^T{r}_{sx}+h^T{R}_{xx}h\end{array}$$
兩邊對$h$求導，并令導數為0，得到：
$$\frac{?E[e(n{)}^2]}{?h}=?2r_{sx}+2R_{xx}h=0$$
$R_{xx}$可逆，解得：
$$h=R_{xx}^{?1}{r}_{sx}$$

總結

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