數學建模:人口增長模型

模型目標:
通過給定的一組人口增長數據,預測后續的人口增長情況.

一、指數增長模型

假設增長率不變:

若已知人口年增長率為r,今年人口為 $x_0$,預測k年后的人口可以用簡單的公式得到:
$$x_k=x_0(1+r{)}^k$$
*以美國人口為例,數據點取下表:

用matlab輸入好數據:

p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4];

該公式得到的人口增長模型如下圖(matlab作圖):

選取的增長率0.2與實際的人口數據點貼合度差,于是進一步建立模型,找到偏差更小的增長率r

精確化增長率r

把人口看作關于時間的可微函數 $x(t)$,記 $x(0)=x_0$
$r{x}_0$ 即為單位時間 $x(t)$ 的增長量
所以得到微分方程:
$$\frac{dx}{dt}=rx,x(0)=x_0$$
解得:
$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$
上述公式即位指數增長模型

數據擬合:

接下來對指數增長模型的參數進行估計,即數據擬合

·法一

用人口數據和線性最小二乘法,對上式取對數:
$$y=rt+a,y=lnx,a=ln{x}_0$$
用matlab進行編程擬合:

%取1790年為t=0,數據點取到2000年 t=0:10:210; lnp = log(p); cftools

解得:
$$r=0.202,x_0=e^{1.8}=6.049$$
帶入得$x(t)=6.049e^{0.0202t}$

·法2
對人口數據做數值微分,計算平均值r‘,x0直接選用原始數據.
函數在各點的近似導數值為(數值微分中點公式):
$$\begin{gathered} x^{\prime }(t_k)=\frac{x_{k+1}?x_{k?1}}{2\Delta t}, \\ (k=1,2,3,...,n?1) \end{gathered}$$
$$x^{\prime }(0)=\frac{4x_1?3x_0?x_2}{2\Delta t},x^{\prime }(n)=\frac{?4x_{n?1}+3x_n+x_{n?2}}{2\Delta t}$$
那么增長率為: $$r(t_k)=\frac{x^{\prime }(t_k)}{x(t_k)}$$

*公式相關推導可參考數值計算方法 第六章 數值積分和數值微分

增長率 $r_k=\frac{x^{\prime }(t_k)}{x(t_k)}$再取平均值得到r = 0.0205

改進的指數增長模型

上述模型對于增長率r不變的假設導致預測曲線與實際偏差較大
所以改進模型中假設 r 為 t 的函數 $r(t)$ , 根據上述法2的 $x^{\prime }(t)$ 畫r—t圖像:

r=[]; for i=1:22if i == 1r(i)=(4*p(i+1)-3*p(i)-p(i+2))/(20*p(i));elseif i == 22r(i)=(-4*p(i-1)+3*p(i)+p(i-2))/(20*p(i));elser(i)=(p(i+1)-p(i-1))/(20*p(i));end end plot(t,r,'.','MarkerSize',20); ylim ([0.005,0.04]); xlabel('t'); ylabel('增長率r');

根據散點圖假設$$r(t)=r_0?r_{1}t$$的線性函數,用最小二乘法線性擬合得到:
$$r_0=0.03252,r_1=0.0001143$$
根據微分方程:
$$dx/dt=r(t)x$$
$$?x(t)=x_0{e}^{(r_{0}t?r_1{t}^2/2)}$$
把擬合后的參數帶入:

xt2 = 3.9.*exp(0.03252.*t-0.0001143.*t.^2./2); plot(t,xt2,'LineWidth',1);

最終根據改進模型預測的2010年人口為290million,與實際數據281.4吻合度較高.顯然改進后的模型優于前兩者.

二、logistic模型

改進的指數增長模型中增長率線性下降,但沒有體現其下降的相關影響因素,只是以時間為變量.logistic模型考慮了自然資源,環境等對人口增長的阻滯作用.

未完…

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模:人口增长模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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