首先，這篇文章是看了幾個大神的博客后，自己抄錄以及整理的內容，其中有些自己的想法，但是原理部分基本都是學習大神們的，在此先說明一下。

1 全狀態反饋控制系統

在介紹LQR之前，首先，先回顧一下現在控制理論中的基本的控制器 —————— 全狀態反饋控制，上圖

假設有一個線性系統用狀態向量表示：
$$\{\begin{array}{ll}\dot{x}=Ax+Bu& \\ y=Cx+Du& \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$x(t)\in R^n$，$u(t)\in R^m$，初始條件是$x(0)$。
在此，我們需要設計一個狀態反饋控制器
$$u=?Kx\text{\hspace{1em}(2)}$$
使上述控制器能達到期望的穩定性能，將式(2)帶入系統狀態方程(1)中，有
$$\dot{x}=(A?BK)x=A_{c}x\text{\hspace{1em}(3)}$$
設定系統中的各個狀態量都可知，式(1)所示的開環系統，傳遞函數的極點就是系統矩陣A的特征值。現在變換成了式(2)的閉環形式，通過配置反饋矩陣$K$，可以使得閉環系統達到所期望的系統狀態。(注意，這種控制器設計與矩陣C、D沒什么關系)
SO，來了一個新的問題，極點在什么樣的位置會使得系統的性能較好呢？并且，當系統變量很多的時候，就算設計極點已經達到了最優，矩陣K的計算如何計算呢？
因此，LQR提供了如下思路。

2 LQR

LQR的目標就是找到一組控制量$u_0,u_1,...$，使得同時有$x_0,x_1,...$足夠小(系統達到穩定狀態)，$u_0,u_1,...$足夠小(控制量盡量小的變化)，選取代價函數為
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{x}^{T}Qx+u^{T}Rudt\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中，Q、R就是需要設計的半正定矩陣和正定矩陣。
看上式(4)是不是線代中的二次型(線代真的是一門重要的學科，工程中大量都是線代的運算)，而且還是那種只有平方項的二次型，這樣就成了最小二乘法的問題。代價函數$J$需要達到最小值，那么在$t$趨近于無窮時，狀態向量$x(t)$肯定趨近于0，即是達到了系統穩態；同理，$t$趨近于無窮時，控制向量$u(t)$也會趨近于0，意味著，隨著時間的推移，需要對系統施加的控制量會越來越小，意味著使用最小的控制量使得系統達到了最終控制目標。

下面來聊聊Q、R值的選取，一般來說，選取Q、R矩陣的時候，為了方便觀察各個系統狀態量而選取對角陣，增加Q的一個值，意味著這個值作用的系統狀態量，將以更快的速度衰減到0，這時候，舉個栗子還是很必要的，比如，$Q_{11}$選取較大的值，會讓$x_1$很快的衰減到0；另外一方面，加大$R$的值，會使得對應的控制量減小，控制器執行更少的動作，意味著系統的狀態衰減將變慢。所以，$Q、R$的選取，要綜合看具體的實際應用場景來調節，俗話說，魚和熊掌不可兼得，這個矛盾就像做的軌跡跟蹤MPC中的設置不同的權重一樣，期望車輛后軸心cte值越小，那么到了轉彎處必須要很大幅度的剎車，以及打方向盤，速度以及yaw都會大幅度變化，而如果期望執行器動作越小，那么就無法保證cte的準確度一樣。

好了，上面介紹了一些參數的意義問題，下面重點就是公式的推導了，在不同大神那看到了不同的推導方式，下面就把自己比較欣賞的一種寫出來吧，雖說過程也很重要，但是工程嘛，只要結果對，效果好，選個自己看起來舒服的方式就好了，開始推導過程

將$u=?Kx$代入代價函數后，有
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{x}^T(Q+K^{T}RK)xdt\text{\hspace{1em}(5)}$$

假設純在一個常量矩陣$P$使得，
$$\frac{d}{dt}(x^{T}Px)=?x^T(Q+K^{T}RK)x\text{\hspace{1em}(6)}$$

把式(6)代入(5)后，有
$$J=?\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{d}{dt}{x}^T(P)x=\frac{1}{2}{x}^T(0)Px(0)\text{\hspace{1em}(7)}$$
式(7)的意思就是，t趨近于無窮時，系統狀態向量x(t)趨近于0，這樣就直接結算出了積分方程。

把式(6)左邊微分展開，
$${\dot{x}}^{T}Px+x^{T}P\dot{x}+x^{T}Qx+x^T{K}^{T}RKx=0$$
狀態變量x的微分用式(3)表示，
$$x^T{A}_c^{T}Px+x^{T}P{A}_{c}x+x^{T}Qx+x^T{K}^{T}RKx=0$$
整理后，有
$$x^T(A_c^{T}P+P{A}_c+Q+K^{T}RK)x=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
這樣，就又回到了二次型的問題，如果式(8)要有解，那么括號里面的部分必須等于0.
$$A_c^{T}P+P{A}_c+Q+K^{T}RK=0\text{\hspace{1em}(9)}$$
把$A_c=A?BK$代入式(9)
$$(A?BK{)}^{T}P+P(A?BK)+Q+K^{T}RK=0\text{\hspace{1em}(10)}$$
$$A^{T}P+PA+Q+K^{T}RK?K^T{B}^{T}P?PBK=0\text{\hspace{1em}(11)}$$

式(11)還是一個關于$K$的二次型，這樣會導致計算量太復雜，so只要這個等式成立就好，那么這里令$K=R^{?1}{B}^{T}P$，然后式(11)，可以化為
$$A^{T}P+PA+Q+K^{T}R(R^{?1}{B}^{T}P)?K^T{B}^{T}P?PB(R^{?1}{B}^{T}P)=0$$
$$A^{T}P+PA+Q?PB{R}^{?1}{B}^{T}P=0\text{\hspace{1em}(12)}$$
式(12)中，$A,B,Q,R$都是已知量，那么通過式(12)可以求解出$P$，式(12)就是著名的Riccati方程。

總結

上面，從理論以及公式推導兩個方面，介紹了LQR，現在從頭看一下LQR的思路：

• 選擇參數矩陣Q,R
• 求解Riccati方程得到矩陣P
• 根據P計算$K=R^{?1}{B}^{T}P$
• 計算控制量$u=?Kx$

MPC與LQR比較

MPC和LQR兩種控制方式有很多的相似之處，但是也有很多不相同的地方，

• 首先，LQR的研究對象是現代控制理論中的狀態空間方程給出的線性系統，而MPC的研究對象可以是線性系統，也可以是非線性系統。不過現在很多的做法都是將非線性系統線性化，然后進行相關計算，具體要根據自己的工程情況來確定哪種方式比較好，比如之前做MPC的時候，線控車底層速度控制接口就是加速度，那就沒必要根據IMU再套嵌個一層PID。
• 其次，既然是優化問題，那就離不開目標函數的設計，LQR的目標函數在上面已經有描述，MPC的目標函數，多數都是多個優化目標乘以不同權重然后求和的方式。雖然方式不同，不過都是對達到控制目標的代價累計。
• 最后，工作時域上的不同，LQR的計算針對同一工作時域，在一個控制周期內，LQR只計算一次，并將此次計算出的最優解下發給控制器即可；而MPC是滾動優化的，計算未來一段時間內，每個采樣周期都會經過計算，得出一組控制序列，但是只將第一個控制值下發給控制器。

Reference：

F.L. Lewis .<< Linear Quadratic Regulator (LQR) State Feedback Design >>

https://blog.csdn.net/u013914471/article/details/84324754?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task

https://zhuanlan.zhihu.com/p/72605138

https://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/39270597

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制算法推导以及简单分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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