LQR控制算法的浅析
目錄
前言
一、知識點補充
? ? ? ? 1、拉格朗日乘子法
? ? ? ? 2、積分中值定理
? ? ? ? 3、向前歐拉法，向后歐拉法，中點歐拉法
????????4、向量的導數
? ? ? ? 5、矩陣求逆引理(記住就好，推導見鏈接)
二、連續時間下的LQR推導
? ? ? ? 1、系統狀態方程
? ? ? ? 2、推導過程
????????3、例子-------手平衡小桿? ??
????????3.1、系統模型
????????3.2、simulink模型仿真
????????????????3.2.1、開環情況（k1=k2=0，初值設置為5）
? ? ? ? ? ? ? ? 3.2.2、閉環情況
? ? ? ? ? ? ? ? 仿真結果：
三、離散時間下的LQR推導（重要）
? ? ? ? 1、狀態方程離散化
? ? ? ? 2、離散LQR的解法
總結
???
前言
這里的部分內容和之前的轉載文章有相同的地方LQR控制算法及matlab/simulink仿真_陌路兩立的博客-CSDN博客_lqr matlab，寫這篇文章的目的是為了增強自己對LQR控制算法的理解。
一、知識點補充
? ? ? ? 1、拉格朗日乘子法
? ? ? ? ? ? ? ? 假設需要求極值的目標函數為，約束條件為。設，定義一個新函數，則用偏導數方法列出方程：
? ? ? ? 2、積分中值定理
? ? ? ? ? ? ? ? 若函數在閉區間上連續，則在積分區間上至少存在一個點，使得下式成立：
其中，，滿足：。
? ? ? ? 3、向前歐拉法，向后歐拉法，中點歐拉法
? ? ? ? ? ? ? ? 向前歐拉法：；
? ? ? ? ? ? ? ? 向后歐拉法：；
? ? ? ? ? ? ? ? 中點歐拉法：。
????????4、向量的導數
????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?參考：? ?向量的導數_影子飛揚的博客-CSDN博客_向量的導數
? ? ? ? 5、矩陣求逆引理(記住就好，推導見鏈接)
????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 參考：矩陣求逆引理(matrix inversion lemma)_UESTC_C2_403的博客-CSDN博客_矩陣求逆引理
二、連續時間下的LQR推導
? ? ? ? 1、系統狀態方程
? ? ? ? ? ? ? ? 開環：;
? ? ? ? ? ? ? ? 閉環：，設計，可以得到,通過改變可以改變的特征值從而控制系統表現。
? ? ? ? 2、推導過程
? ? ? ? ? ? ? ? 系統的狀態發生變化的原因是在上一個狀態時，有外界干擾或者系統的輸入發生變化引起的，忽略外界干擾的影響，這里引入cost function(能量函數，損失函數)：
其中，Q和R均為自己設計的半正定矩陣。我們的目的就是通過設計Q和R使得能量函數最小。?
能量函數的理解：
????????? ? ? ? ? ?Q=,能量函數前面部分可以寫成，當時，Q表現為懲罰；R越大，u對J的影響越大，希望J越小，可以使得u減小。
假設Q=，當?時，J將會變得非常大，對J有較大的影響，為了使得J減小，只能希望快速收斂。
? ? ? ? ? ? ? ? 將控制器?代入到能量函數中：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?????????????????為了找到,假設存在一個常量矩陣，使得
????????????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? 隨后得到：
???????????????????
?????
? ? ? ? ? ? ? ? 將代入到上式中得：
? ? ? ? ? ? ? ? 為了使上式恒成立，我們可以得到：
????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? 通過令?，上式可以化簡為：
該式就是著名的Riccati方程。其中??是系統矩陣已知，選取合適的?，可以解出?，從而得到，控制器。
注：k的由來
????????3、例子-------手平衡小桿? ??
????????3.1、系統模型
???????????????下面是B站大佬DR_CAN對LQR控制算法的講解（知識的搬運工）。
? ? ? ? ? ? ? ?運動學方程：
????????????????
其中：?表示桿子的長度，?表示重力加速度，?表示桿子與垂直方向的夾角，?表示手的移動。
? ? ? ? ? ? ? 通過令?? 可以得到：
? ? ? ? ? ? ? 令??得：
????????3.2、simulink模型仿真
????????????????3.2.1、開環情況（k1=k2=0，初值設置為5）
?
? ? ? ? ? ? ? ? 3.2.2、閉環情況
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? LQR求k代碼：? ? ? ? ? ??
%% 系統參數 A=[0 1;10 0]; B=[0;-1];%% 大Q情況 Q=[100 0;0 1]; R=.01; K=lqr(A,B,Q,R);%% 大R情況 % Q=[1 0;0 1]; % R=100; % K=lqr(A,B,Q,R);%% 求解出來 k1=K(1,1); k2=K(1,2);? ? ? ? ????????????????simulink模型：
?
?
?大R情況：k1=-20.000499987499590，k2=-6.325424884938331；
?大Q情況：k1=-1.104987562112088e+02，k2=-17.916403445513760；
? ? ? ? ? ? ? ? 仿真結果：
?
?
?????????????????結論：通過選取不同的Q和R可以得到不同的系統表現，其中大Q決定的是系統的狀態能否快速達到收斂效果，大R決定的是系統的能耗(輸入)。
參考：?1、視頻鏈接：https://www.bilibili.com/video/BV1RW411q7FDshare_source=copy_web
? ? ? ? ? ? 2、LQR控制算法及matlab/simulink仿真_陌路兩立的博客-CSDN博客_lqr matlab
三、離散時間下的LQR推導（重要）
? ? ? ? 1、狀態方程離散化
? ? ? ? ? ? ? ? 離散之后最重要的一個就是不可以使用微分方程描述系統了。
? ? ? ? ? ? ? ? 動力學方程：,對動力學方程兩邊同時求積分得：
其中，這里我們需要知道是?是 ?維的，?稱為采樣周期。
使用到的知識點：狀態??去??使用的是中間歐拉法，控制輸入??去??使用的是向前歐拉法(因為我們無法知道)。
? ? ? ? 2、離散LQR的解法
? ? ? ? ? ? ? ? step 1：和連續時間下的LQR相同，首先引入能量函數(cost function)：
? ? ? ? ? ? ? ? step 2：引入約束函數：
注：為什么cost function只有，卻沒有呢？
答：如果改為的話，可是約束函數只能覆蓋，所以cost function只能為。
? ? ? ? ? ? ? ? step 3：拉格朗日乘子法求解cost function：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 首先將約束函數寫為：
????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 然后構造新函數：? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
其中?。
注：注意這里的維度問題，?是維的。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 接下來對構造的函數求偏導：
? ? ? ? ? ? ? ? 首先對??求偏導：
????????????????
????????????????綜上所述：
? ? ? ? ? ? ? ? 然后對??求導：
? ? ? ? ? ? ? ? 最后對求導：
????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? 綜上所述：
其中，。
? ? ? ? ? ? ? ? step 4：遞推式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當?時：
通過對比?和可以推出：
其中?(Riccati方程)。
可以得到：
其中??認為已知。
LQR控制實際為：
首先，取矩陣??初值為，然后，代入離散時間下的Riccati方程?中迭代，求出矩陣??(一般只需要迭代幾十次，?就會收斂），最后，將??代入到??中得到?。
總結
這里是我自己學LQR控制算法的推導過程，數學原理很大，總結起來就是，通過選取Q和R，然后將A，B，Q，R代入LQR控制算法中（A，B是系統的狀態矩陣，認為是已知的），從而得到K，然后將K代入到反饋控制輸入?中，從而得到控制輸入，其中Q決定的是收斂速度，R決定的是能耗。因此，我們需要通過選擇合適的Q和R使得cost function達到最優。歡迎大家來討論指正（我的QQ1012154405），一起在控制的海洋中前進！！！
總結
以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制算法的浅析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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