目錄

1 LQR簡(jiǎn)介

2 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

2.1 狀態(tài)空間描述

2.2 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述框圖

2.3 線性系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的反饋控制

2.31 全狀態(tài)反饋控制器

3 LQR設(shè)計(jì)控制器的方法

3.1 什么是二次型

3.3 連續(xù)時(shí)間下的LQR調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)步驟

3.3.1 Q、R矩陣選取

3.3.2 求解Riccati方程得到矩陣P

3.3.3 計(jì)算反饋矩陣

3.3.4 計(jì)算控制量

3.4 離散時(shí)間下的LQR調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)（重要！！）

3.41 推導(dǎo)

3.42 推導(dǎo)結(jié)果

3.43 離散lqr算法步驟：

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轉(zhuǎn)載參考資料：

LQR：Linear Quadratic Regulator 線性二次型調(diào)節(jié)器_One.Wan的博客-CSDN博客_線性二次型調(diào)節(jié)器

【控制理論】離散及連續(xù)的LQR控制算法原理推導(dǎo)_CHH3213的博客-CSDN博客_lqr控制

1 LQR簡(jiǎn)介

LQR：Linear Quadratic Regulator 線性二次型調(diào)節(jié)器，常用于車輛的橫向控制中。

那么，什么是LQR呢？

如果所研究的系統(tǒng)是線性的，且性能指標(biāo)為狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)，則最優(yōu)控制問題稱為線性二次型問題。

而LQR，Linear Quadratic Regulator，即線性二次型調(diào)節(jié)器， 是求解線性二次型問題常用的求解方法。

LQR ，其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。

LQR最優(yōu)設(shè)計(jì)是指設(shè)計(jì)出的狀態(tài)反饋控制器 K要使二次型目標(biāo)函數(shù)J 取最小值，而 K由權(quán)矩陣Q 與 R 唯一決定，故此 Q、 R 的選擇尤為重要。

LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法。特別可貴的是，LQR可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。

2 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

2.1 狀態(tài)空間描述

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2.2 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述框圖

2.3 線性系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的反饋控制

經(jīng)典控制理論中，我們依據(jù)描述對(duì)象輸入輸出行為的傳遞函數(shù)模型來設(shè)計(jì)控制器，因此只能用系統(tǒng)的可測(cè)量輸出作為反饋信號(hào)。

而現(xiàn)代控制理論則是用刻畫系統(tǒng)內(nèi)部特征的狀態(tài)空間模型來描述對(duì)象，除了可測(cè)量的輸出信號(hào)外，還可以用系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)來作為反饋信號(hào)。

根據(jù)可利用的信息是系統(tǒng)的輸出還是狀態(tài)，相應(yīng)的反饋控制可分為輸出反饋和狀態(tài)反饋。

現(xiàn)代控制理論中，更多地使用狀態(tài)反饋，由于狀態(tài)反饋能提供更豐富的狀態(tài)信息和可供選擇的自由度，因而能使系統(tǒng)更容易獲得更為優(yōu)異的性能。其實(shí)，輸出反饋是可以看做是部分狀態(tài)反饋。

2.31 全狀態(tài)反饋控制器

（1）設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，如下圖所示：多了個(gè)K反饋環(huán)節(jié)，一般直接取u=-Kx;

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（2）設(shè)計(jì)完反饋控制器的架構(gòu)之后，下面要保證反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均有負(fù)實(shí)部，即均在復(fù)頻域S平面的左側(cè)。

根據(jù)穩(wěn)定性判定的條件，首先求閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

為了書寫一致性，我們重寫系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式將r替換成u：意思是最后實(shí)際是Y(s)/r(s);

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可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式如式(6)所示，只需要分母表達(dá)式。可見系統(tǒng)傳遞的極點(diǎn)就是矩陣A ? BK的特征值。

因此，可以通過配置K矩陣 (r*n矩陣），使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到我們期望的狀態(tài)。

問題是：當(dāng)系統(tǒng)變量很多的時(shí)候，即使設(shè)計(jì)好了極點(diǎn)，但是矩陣K也不好計(jì)算。接下來開始引入LQR幫助求解K。

3 LQR設(shè)計(jì)控制器的方法

3.1 什么是二次型

在不指定優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)的前提下，控制領(lǐng)域中的“最優(yōu)”體現(xiàn)在“輸出能夠完全跟蹤控制，即在每一時(shí)刻輸出量與控制量完全一致”。實(shí)際過程并不是這樣完美的過程，每一時(shí)刻都會(huì)存在誤差。退而求其次，追求在整個(gè)工作時(shí)間的范圍內(nèi)誤差最小,與軌跡誤差類似，我們研究狀態(tài)誤差。

因此，把整個(gè)工作時(shí)間內(nèi)每一時(shí)刻狀態(tài)的誤差都累加起來，只要累加值更小，便會(huì)更加接近系統(tǒng)性能的期望。

1 首先，假設(shè)狀態(tài)向量x(t)的維度為1以及閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

?

2. 擴(kuò)充狀態(tài)變量到n個(gè)，則代價(jià)函數(shù)為：

?

類似的J的函數(shù)稱為二次型函數(shù)，變量的最高次數(shù)是2。

所有展開的函數(shù)最高次數(shù)為2的，這種類型的函數(shù)統(tǒng)稱為二次型函數(shù)。

3.2 二次型最優(yōu)控制（注意：代價(jià)函數(shù)前面有公式加系數(shù)1/2）

3.3 連續(xù)時(shí)間下的LQR調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)步驟

3.3.1 Q、R矩陣選取

Q為半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣, R為正定的控制加權(quán)矩陣（注意這里），兩者通常取為對(duì)角陣。Q矩陣元素變大意味著希望狀態(tài)量能夠快速趨近于零；R矩陣元素變大意味著希望控制輸入能夠盡可能小，它意味著系統(tǒng)的狀態(tài)衰減將變慢。所以，Q、R的選取，要綜合看具體的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景來調(diào)節(jié)。

3.3.2 求解Riccati方程得到矩陣P

我們求解的前提是假定系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)的狀態(tài)反饋為 u(t)=-Kx(t)；

將狀態(tài)方程代入到代價(jià)函數(shù)中

狀態(tài)方程：x ˙ ( t ) = ( A ? B K ) x ( t )

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式（10）中A,B,Q,R 都是已知量，那么通過式(10)可以求解出 P（n×n維），式(10)就是著名的連續(xù)時(shí)間代數(shù)Riccati方程(CARE)。

3.3.3 計(jì)算反饋矩陣

根據(jù)P，可計(jì)算出反饋矩陣K=R-1BTP；

3.3.4 計(jì)算控制量

u=-Kx;

3.4 離散時(shí)間下的LQR調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)（重要！！）

3.41 推導(dǎo)

首先，對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行離散化，如下圖：Apollo是第二種

接著，以這個(gè)離散的系統(tǒng)進(jìn)行dlqr推導(dǎo)，注意此時(shí)的代價(jià)函數(shù)略微不同，多了一項(xiàng)。

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推導(dǎo)參考：

自動(dòng)駕駛控制算法（四）離散LQR算法推導(dǎo) - 知乎

基礎(chǔ)算法-LQR-離散時(shí)間有限邊界 | Henry-Z

3.42 推導(dǎo)結(jié)果

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3.43 離散lqr算法步驟：

一般迭代個(gè)幾十步，P就不變了！！收斂了！！?

輸入A、B、Q、R、最大迭代次數(shù)N，以及精度，即P變化量多少時(shí)可以看做不變收斂了。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的车辆控制知识总结（一）：LQR算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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