一 基本原理整理

影響radiance在參與介質分布的三個過程：

Absortion，Emission，Scattering（分為out-scattering和in-scattering）。

Absortion

吸收系數為σa，入射radiance Li經過距離dt，吸收后的出射radiance Lo的關系如下：

? ? ? (1)

對上式解微分方程得到一個值，表示經過d距離后的剩余比例：

? ? ?(2)

Emission

這個沒什么好說的，直接上公式：

Out-Scattering

out-scattering也是radiance衰減的一個表現，散射系數為σt，方程如下：

? ? ?(3)

該方程和方程(1)完全一樣，除了系數σ，因此Absortion和Out-Scattering合并可以得到一個衰減系數σt。

所以整體的transmittance的微分方程解為：

? ? (4)

其中d = |p - p'|。

Transmittance的意義是：radiance經過距離d后，得到的fraction。

公式(4)中的指數部分的負數，叫兩點之間的optical thickness：

In-scattering

In-scattering能增加出射的radiance，那么在確定一個出射方向時，有多少radiance能散射到出射方向呢？

這里引入一個phase function，描述一個點在某個方向的出射分布，可以理解成是每個出射方向的概率密度函數，假設出射方向是ω，入射方向是ω'，那么有如下的公式：

in-scattering得到的radiance是：

? ? ? ? （5）

假設p點上的自發光是Le，那么p點增加的radiance可以表示如下：

? ? ?(6)

傳輸方程

傳輸方程描述的某個點延某條路徑的radiance。

現在只考慮從一個surface的p0點反射出來的radiance的某一點p的傳輸方程：

公式如下：

? ? ? ? ? ? (7)

公式(7)的第二項表示路徑里所有點的In-Scattering貢獻。

回顧LTE方程，需要把bsdf函數，積分域，幾何函數全部做一個針對參與介質的修改。

二 實現

采樣t

提到采樣，那就要問，到底我們要采樣什么？

和普通的LTE不一樣，LTE采樣的是BSDF的方向，而帶參與介質的渲染，還需要采樣路徑方向上的點，用于估計該路徑的radiance貢獻。

這里有個先決條件，就是射線是一定會和surface相交的，即射線的tMax一定不是無窮大，該射線會經過參與介質medium。

假設surface的點是p，射線方向是-ω，那么射線方向的點的概率是pt(t)，改點的位置是p + tω。

那么取得surface上的頂點的概率是：

? ? ? ? ? ? (8)

有了概率，就可以對貢獻做估計，β是估計出來的throughput。

surface上一點的throughput估計：

medium上一點的throughput估計：

這里為什么要加上σs？Out-Scattering的衰減要考慮在內。

到目前為止，我們已經根據采樣點和該點的概率密度估計出Throughput，接下來我們還需要估計光照的radiance。

也是分兩種情況：

如果采樣點是surface，直接采樣bsdf進行估計。

如果采樣點是medium，那么我們要估計的是公式(7)的第二項的積分（自發光忽略）：

根據重要性采樣，取一個pdf形狀接近Tr或Ls的，pbrt中用Tr作為pdf的分布。

反函數法求t：

當t < tMax的時候，那么pdf函數是：

當t > tMax時，說明采樣到的點是surface上的交點，這時的pdf是：

由于pdf是一個float值，而σt，Tr都是Spetrum，所以需要隨機采樣一個Spetrum的channel，然后按上述反函數法求t，

然后在把channel的pdf加取來取平均值。

接下來就是要采樣Li了，類似bsdf，如果是介質中一點，通過phase函數采樣入射光。

采樣Phase function

均勻介質的phase函數用的是Henyey–Greenstein，公式如下：

對phase function做積分：

所以概率密度函數是：

根據概率密度函數的轉換：p(θ, φ) = sinθp(ω)

邊際概率密度函數求p(θ)

條件概率公式：

p(φ | θ) = p(θ, φ) / p(θ) = 1 / 2π

反函數求φ：φ = 2πξ1。

下面求p(θ)的CDF，過程很復雜，需要借工具來求，https://www.symbolab.com/solver/calculus-calculator

最后可以得到pbrt的結論（g ≠ 0）：

g = 0時，pHG = 1/4π，概率密度按如下算：

θ的CDF如下：

所以這個時候有：

整個采樣過程完畢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的PBRT-V3体渲染笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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