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本文主要介紹兩個比較容易混淆的概念,
在很多書里面和文獻里面常常混淆這兩個概念. 這兩個概念就是 multinoulli
distribution 和 multinomial distribution.
但是我們首先要看什么是伯努利分布.

bernoulli distribution

$$\begin{array}{rl}P(x=1)& =p,\\ P(x=0)& =1?p,\end{array}$$

舉一個例子,
比如拋硬幣.也就是一次試驗只有兩種狀態(tài)的隨機試驗.如果將之推廣到更一般的情況.我們就引出了
multinoulli distribution. 不過在介紹 multinoulli distribution
之前我們先來看看另一個分布 binominal distribution. 這個分布就是重復(fù)n詞
bernoulli distribution.

binominal distribution

重復(fù)n次 bernoulli distribution的概率質(zhì)量函數(shù)表示為, 其中n為實現(xiàn)次數(shù),
而k位 $x=1$發(fā)生的次數(shù).

$$P(n,k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n?k}$$

multinoulli distribution.

現(xiàn)在我們來看看,假如一次實現(xiàn)結(jié)果不止兩種的隨機試驗.比如拋擲色子.
這種情況下, 一次試驗具有6中結(jié)果 $\{1,2,3,4,5,6\}$.
那么,我們可以寫出這種試驗的概率質(zhì)量函數(shù) $$1=\sum _{i=1}^{k}P(x_i)$$

注意multinoulli distribution的特別之處在于,它只進行一次試驗. 和
bernoulli 試驗一樣它只進行一次.
如果進行多次試驗?zāi)敲淳褪嵌囗検椒植?multinomial distribution).
所以這里就引出了multinomial distribution.

multinomial distribution

它的概率密度函數(shù)為

$$P(\mathbf{x})=\frac{n!}{x_1!?x_k!}{p}_1^{x_1}?p_k^{x_k}$$

它的意思是, 重復(fù)n次試驗.
發(fā)生$\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,?,x_k\right)$的概率.
其中${\sum }_{i=1}^k{x}_i=n$.
而$p_i,i\in (1,2,?,k)$.表示一次試驗$i$狀態(tài)發(fā)生的概率.

總結(jié)

現(xiàn)在我們可以捋清關(guān)系了.

bernoulli distribution(1次試驗, 兩個狀態(tài))binomial distribution(多次 bernoulli試驗)

multinoulli distribution(1次試驗, k個狀態(tài)空間)	multinomial distribution(多次 multinoulli 試驗)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的bernoulli vs binominal vs multinoulli vs multinomial的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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