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Week 1 —— Introduction and Linear Regression

目錄

• Week 1 Introduction and Linear Regression
• 目錄
• 一 介紹
  • 1-1 機器學習概念及應用
  • 1-2 機器學習分類
• 二 單變量的線性回歸
  • 2-1 假設函數(shù)hypothesis
  • 2-2 線性回歸的表示
  • 2-3 Cost function 代價函數(shù)
  • 2-4 參數(shù)求解梯度下降法 Gradient Descent
  • 2-5 梯度下降如何實現(xiàn)最小化代價函數(shù)
  • 2-6 學習率learning rate
  • 2-7 三種梯度下降方式
• 三 總結

一 介紹

1-1 機器學習概念及應用

(1)Arthur Samuel 將其描述為：the field of study that gives computers the ability to learn without being explicitly programme.
讓計算機有學習的能力，而不是明確的程序。
(2)另一種更為現(xiàn)代化的定義是：A computer program is said to learn from experience E with respect to some class of tasks T and performance measure P, if its performance at tasks in T, as measured by P, improves with experience E.
一個計算機程序被定義為從經驗E學習一些分類任務T和性能測量P，如果它在任務T中的性能（由P測量）隨著經驗E提升。

機器學習有下面幾種定義： “機器學習是一門人工智能的科學，該領域的主要研究對象是人工智能，特別是如何在經驗學習中改善具體算法的性能”。 “機器學習是對能通過經驗自動改進的計算機算法的研究”。 “機器學習是用數(shù)據(jù)或以往的經驗，以此優(yōu)化計算機程序的性能標準。” 一種經常引用的英文定義是：A computer program is said to learn from experience E with respect to some class of tasks T and performance measure P, if its performance at tasks in T, as measured by P, improves with experience E.

機器學習已經有了十分廣泛的應用，例如：數(shù)據(jù)挖掘、計算機視覺、自然語言處理、生物特征識別、搜索引擎、醫(yī)學診斷、檢測信用卡欺詐、證券市場分析、DNA序列測序、語音和手寫識別、戰(zhàn)略游戲和機器人運用。

1-2 機器學習分類

監(jiān)督學習 Supervised learning （已知經驗數(shù)據(jù)E的對錯標簽“p”）
1.回歸問題 regression（輸入、**輸出：連續(xù)值**）

predict continuous valued output，即需要預測的變量是連續(xù)的。
例如：已知一組數(shù)據(jù)，包含房屋的面積（x）和對應的價格（y），預測當房屋面積為特定值時（x=x0）對應的價格為多少。

2.分類問題 classification（輸入、**輸出：離散值**）

discrete valued output，即需要預測的變量的離散的（0 or 1）。
例如：已知一組數(shù)據(jù)，包含腫瘤的大小（size）和對應的性質（良性/惡性）（0/1），當給出腫瘤的大小時，判斷其為良性還是惡性。

非監(jiān)督學習 Unsupervised learning（有以往數(shù)據(jù)，但不知道他們的分類）
1.聚類 clustering

網(wǎng)頁將每天發(fā)生的各類新聞分類，相似的新聞會歸到一類。

將數(shù)據(jù)按照其內部存在的某種屬性關系就行歸類，是一種無監(jiān)督學習方式，不需要提供預測的標簽信息。

2.非聚類 non-clustering

The “Cocktail Party Algorithm”，將人說話的聲音與背景音樂分離。

異常點檢測等問題！也是屬于非監(jiān)督學習，但是可以認為其為聚類的問題

二 單變量的線性回歸

2-1 假設函數(shù)（hypothesis）

首先我們定義幾個符號：

對于監(jiān)督學習，我們的目標是，給定一個數(shù)據(jù)集，通過學習算法得到一個函數(shù) h:X→Y，使得可以從 h(x) 中很好的預測出與x相對應的y值。函數(shù)h被稱之為假設函數(shù)（hypothesis）。
以房價預測為例，房屋面積為x，預計房價值為y，對于單變量線性回歸，我們可以設假設函數(shù)（hypothesis function）為：hθ(x)=θ0+θ1x。hθ(x)可以簡寫為h(x)。整個過程可以用下圖表示：

2-2 線性回歸的表示

預測房價的例子。 像這樣用一條直線來模擬房價走勢，就叫做線性回歸。

這個問題屬于監(jiān)督問題，每個樣本都給出了準確的答案。
同時因為房價是連續(xù)值，所以這是一個回歸問題，對給定值預測實際輸出。

公式：
hθ(x)=θ0+θ1?x
其中兩個θ是位置參數(shù)，我們的目的是求出他倆的值。

2-3 Cost function （代價函數(shù)）

我們取怎樣的θ值可以使預測值更加準確呢？

想想看，我們應使得每一個預測值hθ和真實值y差別不大，可以定義代價函數(shù)如下：

這樣，只需要通過使J值取最小，即可滿足需求，那么怎么使J最小化呢？
看圖：誤差與兩個參數(shù)的關系。

我們看到通過改變斜線的斜率 誤差變得很小。也就是選擇了上圖的中心圈子里。
下面為了方便講解，我們不使用這樣的三維曲面，而是用輪廓圖（contour plots）來代替。如下圖所示：

右圖J(θ0,θ1)的輪廓圖，每一個圓圈代表J(θ0,θ1)值相同的所有點的集合。最小值是中心點。
圖中紅色的交叉點代表某個(θ0,θ1)數(shù)值組的集合，θ0=800，θ1=?0.15，同時，也對應與左邊的一條直線。可以看出，它并不能很好地擬合左圖的訓練數(shù)據(jù)。而越接近中心的點(θ0,θ1)越能很好地擬合訓練數(shù)據(jù)。

這里只有兩個參數(shù)，而通常我們會遇到更多參數(shù)，更加復雜的代價函數(shù)，并不能將其可視化，但是我們要做的工作都是一樣的，即找出使代價函數(shù)最小的參數(shù)值θ0、θ1。

2-4 參數(shù)求解（梯度下降法: Gradient Descent）

現(xiàn)在，我們有了假設函數(shù)（hypothesis）以及衡量其是否擬合數(shù)據(jù)的方法——代價函數(shù)（cost function），現(xiàn)在我們需要做的就是估計出假設函數(shù)（hypothesis）中的參數(shù)，即找出使代價函數(shù)最小化的參數(shù)(θ0,θ1)，梯度下降（gradient descent）是一種常用的方法。

一般情況下，我們會從出發(fā)點開始環(huán)顧四周，找到最快的方向，每走一步，就環(huán)顧四周判斷一次，再走下一步，直到達到局部最小值。而這種方法的特點是從不同的出發(fā)點出發(fā)，我們最終到達的可能是不同的局部最優(yōu)解，如圖。關于這個問題，我們之后再進行討論。

紅色箭頭顯示圖中的最小點。我們這樣做的方式是通過我們的代價函數(shù)的導數(shù)（函數(shù)的切線）。切線的斜率是那個點的導數(shù)，它會給我們一個走向的方向。我們降低代價函數(shù)的方向與最陡的下降方向一致。每一步的大小由參數(shù)α決定，稱為學習率。

公式如下：

重復計算這個公式，直到函數(shù)收斂。

注意更新theta值應同時更新

其中的α稱之為步長，在最優(yōu)化課中我們有好幾種方法來確定這個α的值。

比如：我們可以使用一些優(yōu)化算法來進行學習率的超參數(shù)的搜索與學習。如：粒子群算法，蟻群算法，遺傳算法等
我們還可以自定義一些規(guī)則，使得該參數(shù)可以自動適應訓練的過程，如：定義隨著迭代步數(shù)增加而指數(shù)衰減的學習率等。

這個α如果過小，則收斂很慢；
如果過大，則可能導致不收斂。

對于J(θ)的偏導數(shù)學推導過程如下：

在這里你就看到，我們在構造J(θ)時1/2的出現(xiàn)就是為了與指數(shù)的在求導時抵消。
其中x是向量，xi是單個樣本。
經過簡單的替換之后我們就可以得到θ新的迭代公式：

2-5 梯度下降如何實現(xiàn)最小化代價函數(shù)

那么為什么梯度下降可以用于最小化代價函數(shù)呢？
梯度下降如何實現(xiàn)一步步更新后，J(θ)越來越靠近最小值（山底）呢？
為了方便說明，我們假設θ0=0，則：

1、若θ1在局部最優(yōu)解的右邊

dJ(θ1)/dθ1永遠大于等于0，且α永遠為正，所以θ1將減小，向坐標軸左側移動，即向代價函數(shù)J(θ1)更小的方向更新。

2、若θ1在局部最優(yōu)解的左邊

dJ(θ1)/dθ1永遠小于等于0，且α永遠為正，所以θ1將增大，向坐標軸右側移動，即向代價函數(shù)J(θ1)更小的方向更新。

3、若θ1已經處于局部最優(yōu)位置

由于該點切線的斜率為0,故θ1將保持不變，此時即使還存在其他θ1的值使代價函數(shù)更小，也只能收斂于該局部最小值，而無法收斂于全局最小值。

2-6 學習率（learning rate）

我們再來看學習率α:

1、 如果α太小，則因為每次更新θ1的幅度太小導致梯度下降收斂很慢，如下圖：

2、如果α太大，則梯度下降可能會跨過最小值不能收斂，甚至離收斂點越來越遠，如下圖：

有趣的是，我們并不需要改變α的值，即使α值固定，梯度下降也能收斂到一個局部最小值。原因是代價函數(shù)在接近局部最小值的過程中，切線的斜率越來越小，即使α固定，梯度下降的步距也會越來越小，最終也能收斂到局部最小值。

2-7 三種梯度下降方式

1、批量梯度下降（batch gradient descent）

上述方法在每一步都會用到所有的訓練數(shù)據(jù)（∑），所以被稱為批量梯度下降（batch gradient descent）。在我們用的這個特殊例子（單變量線性回歸）中，J(θ0,θ1)除了全局最優(yōu)解（global optima）沒有局部最優(yōu)解（local optima）。
將梯度下降用于這種線性回歸，總會收斂到全局最優(yōu)。

批量梯度下降由于是一次性的額導入全部的數(shù)據(jù)，所以學習速度比較慢，而且對于大數(shù)據(jù)不適合

2、隨機梯度下降（ stochastic gradient descent）

(1)上面的梯度下降算法每次計算梯度都需要遍歷所有的樣本點，這是因為梯度是 J(θ) 的導數(shù)，而 J(θ) 是需要考慮所有樣本的誤差和 ，這個方法問題就是，擴展性問題，當樣本點很大的時候，基本就沒法算了。
(2)所以接下來又提出了隨機梯度下降算法(stochastic gradient descent )。隨機梯度下降算法，每次迭代只是考慮讓該樣本點的 J(θ) 趨向最小，而不管其他的樣本點，這樣算法會很快，但是收斂的過程會比較曲折，整體效果上，大多數(shù)時候它只能接近局部最優(yōu)解，而無法真正達到局部最優(yōu)解。所以適合用于較大訓練集的情況。

3、小批量梯度下降（mini batch gradient descent）

后續(xù)會講到，選擇mini batch，可以實現(xiàn)快速學習，也利用了向量化，cost下降處于上兩者之間

三 總結

到這里，我們就學習了一個最最簡單的機器學習模型求解的全部內容。我們梳理一下，一共有三個層次 的 三個公式。

就這么簡單 ，就可以求出一個預測房價的線性回歸模型。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习基础-吴恩达-coursera-（第一周学习笔记）----Introduction and Linear Regression的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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