線性空間與線性變換

• 綜述
• 1.1 線性空間
• • 1.1.1 集合與映射
  • 1.1.2 線性空間及其性質(zhì)

綜述

本系列博文主要總結(jié)學(xué)習(xí)矩陣論的心得筆記，參考數(shù)目《矩陣論》–張凱院；整個文章的整理體系參照行書過程。

1.1 線性空間

1.1.1 集合與映射

1.集合：將很多東西放在一塊，構(gòu)成一個整體；這個整體就是一個集合。組成集合的單個個體稱為集合的元素。構(gòu)成同一集合的元素一般具有某些共同的性質(zhì)，將其放在一塊便于統(tǒng)一研究。例如：由偶數(shù)組成的集合，偶數(shù)集。集合一般用大寫字母表示，如：A,B,C，S；集合中元素用小寫字母表示，如：a,b,c。集合與元素的關(guān)系為：屬于（$\in$）,不屬于（$\in /$）

2.子集合：由一個集合（記為：S）的部分或全部元素構(gòu)成的新集合稱為原來集合的子集（記為：S1），記為：S1$?$S2.

3.兩個集合相等： 兩個集合具有完全相同的元素，那么，就稱這兩個集合完全相等。顯然：
$$S1?S2andS2?S1=>S2$$
此條在此后證明兩個集合相等的時會經(jīng)常被用到。

4.集合的運(yùn)算:
-------------- 交集：同時屬于兩個集合的元素構(gòu)成的集合。
---------------并集：兩個集合的元素放在一塊并刨去重復(fù)的元素。剩余元素構(gòu)成的集合。
---------------和集：針對數(shù)集而言：$S1+S2=\{x+y|x\in S1,y\in S2\}$

5數(shù)域: 某些數(shù)集（含非零的數(shù)），如果其中任意兩個數(shù)的的和、差、積、商（除數(shù)不為0）的結(jié)果仍然屬于該集合（該集合關(guān)于四則運(yùn)算封閉），那么該數(shù)集稱為數(shù)域。如實(shí)數(shù)集 R對四則運(yùn)算封閉，可以構(gòu)成一個數(shù)域，稱為實(shí)數(shù)域

** 6.集合間映射：** 有一個法則$\sigma :S?>S^{\prime }$，它使得S中的每一個元a都有S’中一個確定的元素a’與之對應(yīng),這個法則就定義了一個映射，記為：
$$\sigma (a)=a^{\prime }$$
自身到自身色映射也可以稱為一個變換。

1.1.2 線性空間及其性質(zhì)

1.線性空間： 非空的集合V,集合中元素滿足加法封閉，且該加法滿足結(jié)合律、交換律、存在零元、存在負(fù)元。外加一個數(shù)域K，集合中的元素與數(shù)域中的數(shù)之間的數(shù)乘對集合V封閉，且該數(shù)乘滿足數(shù)因子分配率，元素分配率、數(shù)因子結(jié)合律、存在單位1，那么稱V為K上的線性空間（或者向量空間）。

定理：線性空間中有唯一的零元素，且任何元素的負(fù)元素唯一。（唯一性的證明：反證法，設(shè)有兩個不同的0元素，推導(dǎo)兩個零元素相等，假設(shè)不成立，唯一性得證）

2.線性相關(guān)與線性無關(guān)：
線性空間V中的一個元素$x$，可以由空間中m個元素$x_1,x_2...x_m$以數(shù)乘加和的形式表示：
$$x=c_1{x}_1+c_2{x}_2+...+c_m{x}_m$$
則稱$x$可以由 $x_1,x_2...x_m$ 線性表出。

如果0元素的線性表出系數(shù)不全為0，就稱$x_1,x_2...x_m$ 線性相關(guān)；
如果0元素的線性表出系數(shù)全為0，就稱$x_1,x_2...x_m$ 線性無關(guān)；

定義： 線性空間v中線性無關(guān)向量組所含的最大向量個數(shù)稱為這個線性空間V的 維數(shù)。例如：$R^{n?n}$是R上的$n^2$維的線性空間，因為$R^{n?n}$中任意一元素A可以表示為：
$$A=(a_{ij}{)}_{n?n}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{E}_{ij}$$
其$n^2個E_{ij}$線性無關(guān)，所以：$dim{R}^{n?n}=n^2$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵论-集合与映射，线性空间及其性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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