文章目錄

• 題目
• 思路
• 代碼
• 復(fù)雜度分析
• 致謝

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題目

數(shù)字以0123456789101112131415…的格式序列化到一個(gè)字符序列中。在這個(gè)序列中，第5位（從下標(biāo)0開(kāi)始計(jì)數(shù)）是5，第13位是1，第19位是4，等等。

請(qǐng)寫(xiě)一個(gè)函數(shù)，求任意第n位對(duì)應(yīng)的數(shù)字。

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思路

我們注意到，如果：

將 01234567891? 中的每一位稱(chēng)為 位 ，記為 n ；

將 10,11,12,? 稱(chēng)為 數(shù)字 ，記為 num ；

數(shù)字 10 是一個(gè)兩位數(shù)，稱(chēng)此數(shù)字的 位數(shù) 為 2 ，記為 digit ；

每 digit 位數(shù)的起始數(shù)字（即：1,10,100,?），記為 start 。

個(gè)位數(shù)共有 1 ~ 9 九個(gè)數(shù)字，稱(chēng)個(gè)位數(shù)的 數(shù)字?jǐn)?shù)量 為 9 ，記為 num_count 。

十位數(shù)共有 10~99 90個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字有兩位，共占序列化 90*2=180 位，稱(chēng)十位數(shù)的 數(shù)位數(shù)量 為 180 ， 記為 count 。

可以得到下表（個(gè)位數(shù)不計(jì)入0）：

數(shù)字范圍位數(shù)數(shù)字?jǐn)?shù)量共占序列化多少位

1~9	1	9	9
10~99	2	90	180
100~999	3	900	2700
……	……	……	……
start~end	digit	9*start	9 * start * digit

可以得到三個(gè)公式：

位數(shù)遞推公式 digit = digit + 1

起始數(shù)字遞推公式 start= start * 10

數(shù)字?jǐn)?shù)量計(jì)算公式 num_count = 9 * start

數(shù)位數(shù)量計(jì)算公式 count = 9 * start * digit

我們可以將求 第n位對(duì)應(yīng)的數(shù)字 求解過(guò)程分為以下幾步：

確定 n 所在 數(shù)字 的 位數(shù)digit ；

確定 n 所在的 數(shù)字num ；

確定 n 是 num 中的哪一位。

第一步：

在幾位數(shù)的范圍內(nèi)？

while(n>count){n -= count;start *= 10;digit++;count = 9*start*digit; }

第二步：

是哪個(gè)數(shù)字？

int num = start+(n-1)/digit;

為什么是 (n-1)/digit 而不是 n/digit ？

首先看一張圖：

以?xún)晌粩?shù)為例，當(dāng)執(zhí)行完 n=n-9 之后，n 與各個(gè)兩位數(shù)數(shù)位的對(duì)應(yīng)關(guān)系如上圖所示。以13為例，當(dāng)我們知道 n=7（13中的1） 時(shí)，由 n/2=3 可得 n 是十位數(shù)起始數(shù)字之后的第三個(gè)，但是當(dāng) n=8（13中的3） 時(shí)，由 n/2=4 得到 n 對(duì)應(yīng)的是十位數(shù)起始數(shù)字之后的第四個(gè)，這是錯(cuò)誤的，十位數(shù)起始數(shù)字之后的第四個(gè)是 14 而非 13 ，因此計(jì)算時(shí)需要將 n 進(jìn)行 減一操作，因?yàn)槲覀儗⑵鹗紨?shù)字看作 第0個(gè)數(shù) 而非 第1個(gè)數(shù) 。

為什么是 (n-1)/digit 而不是 n/digit-1？

仍然以?xún)晌粩?shù)為例，當(dāng) n 對(duì)應(yīng)非起始數(shù)字時(shí)，兩種算法是沒(méi)有區(qū)別的，但是當(dāng) n 對(duì)應(yīng)起始數(shù)字時(shí)，不論 n=0 or n=1 ， (n-1)/digit 的計(jì)算結(jié)果都為 0 ，而 n/digit-1 的計(jì)算結(jié)果都為 -1 。 (n-1)/digit 對(duì)應(yīng)的數(shù)字 num = start + 0 = 10 ，正確；而 n/digit-1 對(duì)應(yīng)的數(shù)字 num = start + (-1) = 9 ，變成了個(gè)位數(shù)，錯(cuò)誤。

總而言之，對(duì) n 進(jìn)行 減一操作 是因?yàn)?起始數(shù)字應(yīng)視為 start + 0，雖然它是兩位數(shù)里面的 第一個(gè) 數(shù)字，但是我們?cè)诠嚼镎f(shuō)的 第幾個(gè) 是 該數(shù)字相對(duì)于起始數(shù)字 而言的，因此要統(tǒng)統(tǒng)減一。而之所以不是 先除再減 而是 先減再除 是因?yàn)?要考慮邏輯順序?qū)ζ鹗紨?shù)字的影響 。

第三步：

處于對(duì)應(yīng)數(shù)字的哪一位？

num = s[(n-1)%digit] - '0';

(n-1)%digit 計(jì)算的便是對(duì)應(yīng)的 數(shù)位 ，n減一的原因和第二步中相同，不再贅述。

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代碼

class Solution { public:int findNthDigit(int n) {long long start=1, count=9, digit=1;while(n>count){n -= count;start *= 10;digit++;count = 9*start*digit;}int num = start+(n-1)/digit;//所在數(shù)字string s = to_string(num);num = s[(n-1)%digit] - '0';//處于所在num的哪一位return num;} };

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復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度 O(logn) ： 所求數(shù)位 n 對(duì)應(yīng)數(shù)字 num 的位數(shù) digit 最大為 O(log n) ；第一步最多循環(huán) O(log n) 次；第三步中將 num 轉(zhuǎn)化為字符串使用 O(log n) 時(shí)間；因此總體為 O(log n) 。

空間復(fù)雜度 O(logn) ： 將數(shù)字 num 轉(zhuǎn)化為字符串 str(num) ，占用 O(logn) 的額外空間。

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致謝

思路中的部分想法、復(fù)雜度分析源于K神的題解，鞠躬致謝。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的求数字序列中的第n位对应的数字的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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