地球自轉(zhuǎn)的角速度(地球公轉(zhuǎn)的角速度)。

來源:劉彥柱科學(xué)網(wǎng)博客，作者:劉彥柱。

01

福柯擺和福柯陀螺。

1851年，法國(guó)物理學(xué)家福柯(j .)在巴黎萬神殿的穹頂上懸掛了一根67米長(zhǎng)的繩子，繩子的下端連接著一個(gè)28公斤重的鐘擺(圖1和圖2)。這個(gè)著名的傅科擺是人類第一個(gè)證明地球自轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)。雖然哥白尼(n .)的日心說早在16世紀(jì)就提出了，但人們?nèi)匀徊荒芡ㄟ^自己的感官直接認(rèn)識(shí)地球的運(yùn)動(dòng)。

1.福柯，1819-1868。

圖2福柯擺實(shí)驗(yàn)。

1602年，伽利略對(duì)單擺定律有了深刻的理解。單擺的擺動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)平面在慣性空范圍內(nèi)保持方向不變。如果地球旋轉(zhuǎn)，擺動(dòng)平面將相對(duì)于地球偏轉(zhuǎn)。地球每天晝夜繞極軸自轉(zhuǎn)一周，自轉(zhuǎn)角速度e每小時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°。巴黎的緯度是北緯48.52度，地球繞巴黎垂直線的角速度是esin，大約是每小時(shí)11.24。將擺長(zhǎng)l=67m，重力加速度g=9.8m/s代入單擺周期公式，t = 2 (l/g) 1/2 = 16.4s，每次擺動(dòng)，擺動(dòng)平面應(yīng)相對(duì)于地球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3分鐘左右。這個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了福柯的預(yù)言，引起了很大的轟動(dòng)。

福柯擺實(shí)驗(yàn)完成后的第二年，福柯于1852年在巴黎科學(xué)院進(jìn)行了另一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。他展示了一種由一根細(xì)線組成的新儀器，細(xì)線懸掛著一個(gè)帶有轉(zhuǎn)子的環(huán)，轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)軸可以自由改變方向(圖3)。保持轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸沿子午線向北水平。無扭矩時(shí)，轉(zhuǎn)軸應(yīng)保持慣性空之間的方位不變。如果地球逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，地球上的觀測(cè)者應(yīng)該可以看到旋轉(zhuǎn)軸相對(duì)于地球的順時(shí)針偏轉(zhuǎn)，從而再次證明了地球的自轉(zhuǎn)(圖4)。然而，實(shí)驗(yàn)并沒有達(dá)到預(yù)期的結(jié)果，兩個(gè)重要的原因?qū)е铝耸　Ｒ皇寝D(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速太低；第二，懸絲的扭矩嚴(yán)重阻礙了轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)。雖然實(shí)驗(yàn)不成功，但意義重大，因?yàn)檫@個(gè)不完美的儀器是深圳生命網(wǎng)歷史上第一個(gè)具有科學(xué)意義的陀螺儀。

圖3福柯陀螺儀。

02

福柯陀螺儀能夠指向北方。

陀螺儀是由外環(huán)、內(nèi)環(huán)(或包含轉(zhuǎn)子的外殼)和轉(zhuǎn)子組成的系統(tǒng)。建立以陀螺質(zhì)心O為原點(diǎn)的(O-xyz)坐標(biāo)系。x軸為外環(huán)軸，y軸為內(nèi)環(huán)軸，z軸為轉(zhuǎn)子極軸，是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)軸。外環(huán)的角是，內(nèi)環(huán)圍繞外環(huán)的角是(圖4)。I，j，k代表每個(gè)坐標(biāo)軸的基向量。如果轉(zhuǎn)子的極慣性矩為c，繞z軸快速旋轉(zhuǎn)的角速度為0，那么動(dòng)量矩L=C0k。在分析陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動(dòng)時(shí)，可以忽略緩慢旋轉(zhuǎn)的內(nèi)外環(huán)的動(dòng)量矩。以O(shè)為原點(diǎn)建立與地球合并的地理坐標(biāo)系(O-XEN)，其中x軸沿垂直線向上，e軸沿緯度線向東，n軸沿子午線向北(圖5)。陀螺儀的外環(huán)軸x沿著垂直軸x放置在地球上，我們假設(shè)內(nèi)環(huán)相對(duì)于外環(huán)是固定的，且let =0。由于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸z軸上只剩下一個(gè)自由度，故稱之為單自由度傅科陀螺儀。

圖4由內(nèi)環(huán)和外環(huán)支撐的陀螺儀。

圖5地理坐標(biāo)系。

旋轉(zhuǎn)物體的轉(zhuǎn)軸在力矩作用下改變方向的運(yùn)動(dòng)稱為進(jìn)動(dòng)，剛體進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稱為陀螺力矩。是一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，其中地球繞極軸Z0以角速度e旋轉(zhuǎn)。設(shè)安裝地點(diǎn)的緯度為X0、E0、N2，表示(O-XEN)各坐標(biāo)軸的基向量，設(shè)1=ecos，2=esin，則e=2X0+1N0。假設(shè)(O-xyz)和(O-XEN)在初始時(shí)間重合，轉(zhuǎn)子的極軸z指的是北方。然后框架繞X軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使極軸偏離子午線。由于框架可以不受約束地繞x軸自由旋轉(zhuǎn)，所以e沿x軸的分量2X0不能傳遞給轉(zhuǎn)子。只有沿n軸的分量1N0才能通過軸承的約束力作用在轉(zhuǎn)子上進(jìn)動(dòng)，產(chǎn)生沿x軸的陀螺力矩Mc=L1N0。僅導(dǎo)出預(yù)留的一階小量，代入N0=j+k后。

這個(gè)力矩與框架的偏轉(zhuǎn)方向相反，促使框架和極軸回到繞X軸的子午線位置。在回歸過程中，轉(zhuǎn)子動(dòng)量矩l沿y軸變化所需的外力矩由軸承的約束提供。上述分析表明，單自由度傅科陀螺儀具有指向北方的能力。

然而，這種單自由度陀螺儀很難用于船舶或其他移動(dòng)載體。原因是地球自轉(zhuǎn)太慢，產(chǎn)生的陀螺力矩太弱，無法克服軸承摩擦的阻礙。此外，陀螺的架軸必須保持嚴(yán)格垂直，稍有傾斜就會(huì)造成嚴(yán)重誤差。雖然無法在實(shí)踐中使用，但這個(gè)簡(jiǎn)單的陀螺裝置深圳生活網(wǎng)卻開啟了利用地球自轉(zhuǎn)創(chuàng)造指北針儀的奮斗歷程。

03

如何創(chuàng)建實(shí)用的陀螺羅盤？

我們的祖先很早就在海洋上移動(dòng)，在浩瀚的海洋中航行需要正確的方向。利用地球磁場(chǎng)的指南針是中國(guó)四大發(fā)明之一，自傳入西方后，成為遠(yuǎn)洋船隊(duì)必備的磁羅盤。15世紀(jì)，鄭和下西洋的深圳生命網(wǎng)龐大船隊(duì)，16世紀(jì)的伽馬、哥倫布船隊(duì)，都離不開磁羅盤的導(dǎo)航，但磁羅盤只能用于木船。19世紀(jì)初，歐洲出現(xiàn)了鐵船，鋼船體對(duì)磁力線的干擾使磁羅盤失效。因此，探索新的導(dǎo)航羅盤已成為主要航海國(guó)家的緊迫任務(wù)。福柯陀螺儀的出現(xiàn)為新指南針的產(chǎn)生提供了希望。

單自由度陀螺儀不成功，使內(nèi)環(huán)自由旋轉(zhuǎn)，改為二自由度陀螺儀。外環(huán)垂直固定在地球北半球P點(diǎn)，內(nèi)環(huán)水平，轉(zhuǎn)子極軸沿子午線指向北方。短時(shí)間后，地球因自轉(zhuǎn)而繞南北極軸轉(zhuǎn)了一個(gè)微小的角度，使P點(diǎn)沿緯度線由西向東轉(zhuǎn)到P點(diǎn)。由于陀螺的同軸度，為了保持慣性空中的方位不變，極軸向東偏離子午線的新位置，產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)角(圖6)。單自由度陀螺儀可以利用地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺力矩使極軸回到子午線位置，但由于恢復(fù)力矩太弱，實(shí)際上無法使用。因此，關(guān)鍵的問題是找到更強(qiáng)大的力量來快速將極軸恢復(fù)到原來的位置。

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在從子午線向東偏離的同時(shí)，極軸略微升高，偏離角出現(xiàn)而不是水平。極軸偏離水平面的現(xiàn)象非常重要，這表明了通過重力恢復(fù)原始位置的可能性。如果在安裝轉(zhuǎn)子的內(nèi)環(huán)下方增加配重，內(nèi)環(huán)和轉(zhuǎn)子組件的重心會(huì)從支撐中心向下偏離，形成繞Y軸旋轉(zhuǎn)的復(fù)擺。內(nèi)環(huán)抬頭時(shí)，重力產(chǎn)生沿緯度向西的力矩，使極軸帶動(dòng)外環(huán)沿垂直軸向西運(yùn)動(dòng)，回到與子午線一致的原始位置。因此思路逐漸清晰:用重力擺產(chǎn)生的力矩代替地球自轉(zhuǎn)弱引起的陀螺力矩，可以使陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動(dòng)循經(jīng)。

圖6地球自轉(zhuǎn)引起的轉(zhuǎn)子極軸偏轉(zhuǎn)。

圍繞x軸的重量力矩mg1與轉(zhuǎn)子進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的陀螺力矩L(d/dt)平衡。導(dǎo)出

其中k =毫克升/升..此時(shí)，轉(zhuǎn)子因內(nèi)環(huán)偏轉(zhuǎn)角變化而產(chǎn)生的繞y軸的陀螺力矩L(d/dt)與地球自轉(zhuǎn)e引起的陀螺力矩L1平衡，并導(dǎo)出。

以上兩個(gè)方程決定了指南針的進(jìn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)線性方程進(jìn)行了分析，導(dǎo)出了特征=i(k1)1/2，表明指北針的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)是圍繞平衡態(tài)的周期運(yùn)動(dòng)，周期為T=2/(k1)1/2。一

圖7陀螺羅盤的阻尼。

第一種減震方案的實(shí)現(xiàn)方式有很多種，最簡(jiǎn)單的方法是將下下擺配重與內(nèi)環(huán)總成的連接點(diǎn)向東稍微偏移一個(gè)角度。當(dāng)極軸相對(duì)水平面傾斜時(shí)，重力不僅會(huì)產(chǎn)生繞y軸的力矩My，還會(huì)產(chǎn)生繞x軸的微小力矩Mx進(jìn)行阻尼(圖8)。

圖8配重和內(nèi)圈之間的偏心連接。

實(shí)現(xiàn)第二種方案的難點(diǎn)在于無法提前獲取方位信息，因?yàn)闇y(cè)量基準(zhǔn)是羅盤要建立的子午面。通過利用和之間的相位差為90°的特性，可以用與相位差為90°的水平轉(zhuǎn)矩來代替阻尼轉(zhuǎn)矩。液體擺有這種特殊的功能。它由兩個(gè)形狀相同的盛裝粘性液體的容器組成，容器之間通過細(xì)管連通。連接器載體傾斜時(shí)，液體從高端容器流入低端容器，產(chǎn)生重力矩，反映復(fù)擺效應(yīng)。假設(shè)液體表面相對(duì)于容器軸線y的傾斜角是載體軸線相對(duì)于水平軸線y的傾斜角，液體表面相對(duì)于y軸線的傾斜角是-(圖9)。連通管中液體的速度與兩端壓差成正比，即正比于-，d/dt=-c(-)。將比例系數(shù)c的倒數(shù)寫成T=1/c和T(d/dt)+=。對(duì)于強(qiáng)粘性液體，時(shí)間常數(shù)t足夠大。包括流速的第一項(xiàng)大約與成比例，這表明與基底搖擺運(yùn)動(dòng)成比例的傾覆力矩之間的相位差接近90°。

圖9液體擺。

04

實(shí)踐中的新問題。

在解決了羅經(jīng)的指北原理后，實(shí)踐中出現(xiàn)了一些新的理論問題。首先，實(shí)際使用羅盤時(shí)，理論分析中船舶南北方向的航行速度會(huì)改變地理坐標(biāo)系的方位，使接近陀螺極軸的子午線偏離真子午線。由此產(chǎn)生的子午線偏差稱為速度誤差(圖10)。

其中r是地球的半徑，vE和vN是船的東、北向速度。誤差隨著緯度的增加而增加，但在導(dǎo)航時(shí)可以修正。只有當(dāng)緯度接近地球兩極時(shí)，誤差才無限增大，不能用于高緯度地區(qū)。

圖10速度誤差的產(chǎn)生。

此外，船舶在重力擺上加速、減速或轉(zhuǎn)彎所產(chǎn)生的慣性力也會(huì)造成沖擊誤差。這個(gè)問題被德國(guó)物理學(xué)家m .舒勒徹底解決了，他在1923年從理論上證明，如果將單擺的擺長(zhǎng)增加到與地球半徑R相等，則無論載體的加速度如何，單擺都能始終與地球的垂直方向保持一致，從而避免了加速度的干擾。地球半徑R = 6371km千米，重力加速度g = 9.81m米/秒代入周期公式T=2(R/g)1/2，計(jì)算周期為84.4分鐘..這種可以避免加速度干擾的特殊周期稱為舒勒周期。可以證明，如果陀螺周期設(shè)計(jì)為舒勒周期，則可以避免沖擊誤差。

最嚴(yán)重的問題來自于船體在波浪的激勵(lì)下不斷搖擺。圍繞艏艉線的擺動(dòng)可以高達(dá)十幾度。指南針的初步實(shí)踐已經(jīng)表明了擺動(dòng)帶來的巨大誤差，因此我們應(yīng)該首先從理論上討論誤差的原因，以改進(jìn)指南針的結(jié)構(gòu)。設(shè)船舶航行方位角為，使地理坐標(biāo)系(O-XEN)繞垂直軸X順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，形成新的參考坐標(biāo)系(O-XYZ)。N軸到達(dá)的新位置是沿著船體的艏艉線。船體以角頻率和振幅圍繞z軸圍繞浮動(dòng)中心O0滾動(dòng)。假設(shè)陀螺儀支撐點(diǎn)o與O0的垂直距離為h，沿水平軸y的加速度出現(xiàn)在點(diǎn)o處，a=aY0，a=hsint(圖11)。

圖11船體繞z軸的搖擺。

為了避免羅盤隨船擺動(dòng)，設(shè)計(jì)者在內(nèi)環(huán)和外環(huán)之間增加了一個(gè)繞Z軸旋轉(zhuǎn)的中環(huán)，隔離擺動(dòng)的船體。中環(huán)組件與內(nèi)環(huán)和轉(zhuǎn)子的重心下移形成復(fù)擺，使其在船體擺動(dòng)時(shí)仍能保持垂直。讓羅盤處于理想狀態(tài)，陀螺坐標(biāo)系(O-xyz)和地理坐標(biāo)系(O-XEN)完全一致。如果組件的質(zhì)量為m，則從移動(dòng)質(zhì)量中心O1到陀螺支點(diǎn)o沿?cái)[動(dòng)軸x1的矢量直徑為l，相對(duì)于垂直軸的擺動(dòng)角為(圖12)。擺動(dòng)引起的慣性力-ma相對(duì)于支點(diǎn)o產(chǎn)生力矩M=l(-ma)，其沿z軸的分量Mz使組件的擺角發(fā)生強(qiáng)制振動(dòng)。同時(shí)，m沿x軸和y軸的分量Mx和My通過軸承傳遞給轉(zhuǎn)子。從圖13可以看出，在軋制過程中，由于方向相反，水平分量My被抵消，但是離心力分量Mx總是具有相同的方向。由于船體擺動(dòng)的頻率遠(yuǎn)高于陀螺的固有頻率，所以慣性矩Mx和My對(duì)陀螺的作用可以用每個(gè)周期的平均值來代替。My的平均值為零，而Mx的平均值使轉(zhuǎn)子偏離軸線，與地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺力矩L1相平衡。偏角s是船舶搖擺引起的指示誤差；

這種搖擺誤差不僅取決于羅盤的結(jié)構(gòu)參數(shù)、安裝位置和搖擺強(qiáng)度，還取決于緯度角和方位角。在= 0，90，180，270等特殊位置，擺動(dòng)誤差為零；當(dāng)= 45，135，225，315時(shí)，擺幅誤差具有最大值。緯度越高，擺動(dòng)誤差越嚴(yán)重，接近地球兩極時(shí)擺動(dòng)誤差無限增大。

圖12環(huán)組件的強(qiáng)迫振動(dòng)。

圖13擺動(dòng)引起的慣性力矩。

05

陀螺羅盤的技術(shù)實(shí)現(xiàn)。

在陀螺羅盤的機(jī)械原理得到充分論證后，就要靠工程師的智慧和企業(yè)家的勇氣把理論變成現(xiàn)實(shí)。在福柯陀螺儀的失敗教訓(xùn)中，1865年，特魯夫(g .)通過使用電機(jī)驅(qū)動(dòng)解決了提高陀螺儀速度的問題。1904年，F(xiàn)PPL (A .)利用德國(guó)鋼絲懸掛的電動(dòng)雙轉(zhuǎn)子陀螺成功證明了地球自轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)了福柯未完成的愿望。因此，消除軸承摩擦、羅盤阻尼和消除擺動(dòng)誤差成為工程師們迫切需要解決的關(guān)鍵技術(shù)。

在19世紀(jì)末的早期工作中，特魯維已經(jīng)用內(nèi)外圈組成的萬向支架代替了鋼絲懸掛支架。1884年，開爾文勛爵提出了將帶有轉(zhuǎn)子的組件懸浮在液體中的支撐方案。經(jīng)過各種技術(shù)方案的不懈探索，20世紀(jì)初取得了實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。1908年，德國(guó)的安希茨-KMPFE博士制造了一種懸掛在水銀容器中的單轉(zhuǎn)子陀螺羅盤(圖14)。1909年，美國(guó)的斯佩里(e.a .)采用了類似福柯陀螺儀的鋼絲懸掛支架，但增加了一個(gè)控制系統(tǒng)，隨時(shí)消除鋼絲的扭矩。此后，形成了沿不同技術(shù)路線發(fā)展的兩種陀螺羅盤。

圖14史高斯單轉(zhuǎn)子陀螺羅盤。

1912年，安海斯對(duì)指南針進(jìn)行了重大改進(jìn)。他把框架和轉(zhuǎn)子放入一個(gè)空中心鋼球中，鋼球懸掛在水銀容器中，其重心低于漂浮中心。為了消除擺動(dòng)誤差，除了主旋翼H1沿Z軸外，鋼球中還增加了兩個(gè)輔助旋翼H2和H3，它們通過杠桿連接，以確保它們與Z軸具有相同的傾角。輔助轉(zhuǎn)子沿Z軸的動(dòng)量矩與主轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩疊加起導(dǎo)向作用。由于方向相反，沿y軸的分量偏移為零(圖15)。當(dāng)沿y軸的慣性力對(duì)鋼球質(zhì)心產(chǎn)生力矩m時(shí)，將迫使輔助轉(zhuǎn)子H2和H3沿z軸的同一方向進(jìn)動(dòng)，產(chǎn)生的陀螺力矩將抵消干擾力矩，從而避免鋼球繞z軸擺動(dòng)，從而消除擺動(dòng)的影響。

圖15具有三個(gè)轉(zhuǎn)子的史高斯陀螺羅盤。

舒爾茨的三轉(zhuǎn)子羅盤已經(jīng)在航海上使用了15年，享有很高的聲譽(yù)。1927年再次修改，省略了陀螺儀的主旋翼H1，完全由傾角45°的輔助旋翼H2和H3代替。陀螺儀和所有附件都封裝在密封的銅球中，并漂浮在液體容器中(圖16)。值得一提的是，物理學(xué)大師愛因斯坦(a .)曾作為專利鑒定專家參與《紅掌經(jīng)》的修訂設(shè)計(jì)(圖17)。作為一種成熟的技術(shù)方案，改進(jìn)后的安舒茨雙轉(zhuǎn)子羅盤被前蘇聯(lián)仿制，形成了庫爾斯陀螺羅盤。也傳入中國(guó)，成為國(guó)內(nèi)較早的指南針產(chǎn)品。

圖16 Amphotz雙轉(zhuǎn)子陀螺羅盤。

圖17指南針實(shí)驗(yàn)船上的安海斯(左)和愛因斯坦(右)。

另一個(gè)方向開發(fā)的斯佩里羅盤由帶控制的鋼絲懸掛支撐，單個(gè)轉(zhuǎn)子加入液體擺產(chǎn)生阻尼，消除擺動(dòng)誤差。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，以斯佩里羅盤為基礎(chǔ)，它已經(jīng)發(fā)展成為現(xiàn)代電控羅盤(圖18)。采用與液體擺性質(zhì)相同的強(qiáng)阻尼擺作為基本敏感元件，將測(cè)得的內(nèi)環(huán)偏轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)通過控制系統(tǒng)輸入電力矩裝置，產(chǎn)生指向北方過程中所需的力矩。因此，純粹由力學(xué)定律創(chuàng)造的傳統(tǒng)指南針完全被電子控制系統(tǒng)所取代。

圖18電控陀螺羅盤。

電子控制羅盤的出現(xiàn)，結(jié)束了陀螺羅盤百年的發(fā)展歷史。羅經(jīng)的發(fā)明是力學(xué)和工程學(xué)結(jié)合的成功范例。回顧這段歷史的意義在于了解人類從認(rèn)識(shí)到利用自然規(guī)律的奮斗歷程，依靠力學(xué)家、工程師和企業(yè)家的不懈努力，航海家的夢(mèng)想終于實(shí)現(xiàn)了。對(duì)解決當(dāng)前技術(shù)發(fā)展中的各種新問題具有借鑒意義。

參考文獻(xiàn):

劉彥柱。陀螺力學(xué)(第二版)。北京:科學(xué)出版社，2009。

總結(jié)

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