【轉(zhuǎn)自】http://hi.baidu.com/chenxuanhanhao/blog/item/121b7e290d95bbfb99250a0e.html

流形（Manifold），是局部具有歐氏空間性質(zhì)的空間。 而實(shí)際上歐氏空間就是流形最簡單的實(shí)例。像地球表面這樣的球面是一個(gè)稍為復(fù)雜的例子。一般的流形可以通過把許多平直的片折彎并粘連而成。

流形在數(shù)學(xué)中用于描述幾何形體，它們提供了研究可微性的最自然的舞臺。物理上，經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對論的時(shí)空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實(shí)例。他們也用于位形空間(configuration space)。環(huán)面(torus)就是雙擺的位形空間。

如果把幾何形體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)看作是完全柔軟的，因?yàn)樗凶冃?同胚)會保持拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變，而把解析簇看作是硬的，因?yàn)檎w的結(jié)構(gòu)都是固定的(譬如一個(gè)1維多項(xiàng)式，如果你知道(0,1)區(qū)間的取值，則整個(gè)實(shí)屬范圍的值都是固定的,局部的擾動(dòng)會導(dǎo)致全局的變化)，那么我們可以把光滑流形看作是介于兩者之間的形體，其無窮小的結(jié)構(gòu)是硬的，而整體結(jié)構(gòu)是軟的。這也許是中文譯名流形的原因(整體的形態(tài)可以流動(dòng)),該譯名由著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育學(xué)家江澤涵引入。這樣，流形的硬度使它能夠容納微分結(jié)構(gòu)，而它的軟度使得它可以作為很多需要獨(dú)立的局部擾動(dòng)的數(shù)學(xué)和物理上的模型。

一、簡介

流形可以視為近看起來象歐氏空間或其他相對簡單的空間的物體。例如，人們曾經(jīng)以為地球是平坦的，因?yàn)槲覀兿鄬τ诘厍蚝苄。@是一個(gè)可以理解的假象。所以，一個(gè)理想的數(shù)學(xué)上的球在足夠小的區(qū)域也象一個(gè)平面，這使它成為一個(gè)流形。但是球和平面有很不相同的整體結(jié)構(gòu):如果你在球面上沿一個(gè)固定方向走，你最終回到起點(diǎn)，而在一個(gè)平面上，你可以一直走下去。

一個(gè)曲面是二維的。但是，流形可以有任意維度。其他的例子有，一根線的圈(一維的)以及三維空間中的所有旋轉(zhuǎn)(三維的)。旋轉(zhuǎn)所組成的空間的例子表明流形可以是一個(gè)抽象空間。流形的技術(shù)使得我們能夠獨(dú)立的考慮這些對象，從某種意義上來講，我們可以有一個(gè)不依賴于任何其他空間的球。

局部的簡單性是一個(gè)很強(qiáng)的要求。例如，我們不能在球上吊一個(gè)線并把這個(gè)整體叫做一個(gè)流形；包含把線粘在球上的那一點(diǎn)的區(qū)域都不是簡單的 — 既不是線也不是面 — 無論這個(gè)區(qū)域有多小.

我們用收集在地圖集中的平的地圖在地球上航行。類似的，我們可以用在數(shù)學(xué)圖集中的數(shù)學(xué)地圖(稱為坐標(biāo)圖)來描述一個(gè)流形.通常不可能用一張圖來描述整個(gè)流形，這是因?yàn)榱餍魏徒ㄔ焖哪Ｐ退玫暮唵慰臻g在全局結(jié)構(gòu)上的差異。當(dāng)使用多張圖來覆蓋流形的時(shí)候，我們必須注意它們重疊的區(qū)域，因?yàn)檫@些重疊包含了整體結(jié)構(gòu)的信息。

有很多不同種類的流形。最簡單的是拓?fù)淞餍危鼈兙植靠磥硐駳W氏空間。其他的變種包含了它們在使用中所需要的額外的結(jié)構(gòu)。例如，一個(gè)微分流形不僅支持拓?fù)洌乙С治⒎e分。黎曼流形的思想導(dǎo)致了廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使得人們能夠用曲率來描述時(shí)空。

二、引例: 圓圈

圓是除歐氏空間外的拓?fù)淞餍蔚淖詈唵蔚睦印Ｗ屛覀兛紤],例如一個(gè)半徑為1，圓心在原點(diǎn)的圓。若x 和y是圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，則我們有x² + y² = 1.

局部看來，圓像一條線，而線是一維的。換句話說，我們只要一個(gè)坐標(biāo)就可以在局部描述一個(gè)圓。例如，圓的上半部，y-坐標(biāo)在那里是正的(右圖中黃色的部分)。那個(gè)部分任何一點(diǎn)都可以用x-坐標(biāo)確定。所以，存在雙射 Xtop，它通過簡單的投影到第一個(gè)坐標(biāo)(x)將圓的黃色部分映射到開區(qū)間(?1, 1)：

Ⅹtop(x,y)＝x

這樣的一個(gè)函數(shù)稱為圖(chart)。類似的，下半部（紅），左半部（藍(lán)），右半部（綠）也有圖。合起來,這些部分覆蓋了整個(gè)圓，我們稱這四個(gè)圖組成一個(gè)該圓的圖集(atlas)。

注意上部和右部的圖的重疊部分。它們的交集位于圓上x和y坐標(biāo)都是正的四分之一弧上。兩個(gè)圖χtop 和χright 將這部分雙射到區(qū)間(0, 1)。這樣我們有個(gè)函數(shù)T 從(0, 1)到它自己，首先取黃色圖的逆到達(dá)圓上再通過綠圖回到該區(qū)間:

Τ(a)＝Ⅹright(Ⅹtop－1(a))＝Ⅹright (a,√1－a²)＝√1－a²

這樣的函數(shù)稱為變換映射(坐標(biāo)變換)。

上，下，左，右的坐標(biāo)圖表明園圈是一個(gè)流形，但它們不是唯一可能的圖集。坐標(biāo)圖不必是幾何射影，而圖的數(shù)量也可以有某種選擇。考慮坐標(biāo)圖

Ⅹminus(x,y)＝s＝y(tǒng)／1＋x 和 Ⅹplus(x,y)＝t＝y(tǒng)／1－x

這里s是穿過坐標(biāo)為(x,y)的可變點(diǎn)和固定的中心點(diǎn)(?1,0)的線的斜率; t是鏡像對稱，其中心點(diǎn)為(+1,0)。從s到(x,y)的逆映射為

x＝1－s²／1＋s² ，y＝2s／1＋s²

我們很容易確認(rèn)x²+y² = 1 對于所有斜率值s成立。這兩個(gè)圖提供了圓圈的又一個(gè)圖集，其變換函數(shù)為

t＝1／s

注意每個(gè)圖都缺了一點(diǎn)，對于s是(?1,0)，對于t是(+1,0)，所以每個(gè)圖不能獨(dú)自覆蓋整個(gè)圓圈。利用拓?fù)鋵W(xué)的工具，我們可以證明沒有單個(gè)的圖可以覆蓋整個(gè)圓圈；在這個(gè)簡單的例子里，我們已經(jīng)需要用到流形可以擁有多個(gè)坐標(biāo)圖的靈活性。

流形不必連通(整個(gè)只有一片);這樣，一對分離的圓圈可以是一個(gè)拓?fù)淞餍巍Ｋ鼈儾槐厥情]的；所以不帶兩個(gè)端點(diǎn)的線段也是流形。它們也不必有限;這樣拋物線也是一個(gè)拓?fù)淞餍巍０堰@些自由選擇加起來，兩個(gè)另外的拓?fù)淞餍蔚睦佑须p曲線和三次曲線y² - x³ + x = 0上的點(diǎn)的軌跡。

但是，我們排除了向兩個(gè)相切的圓(它們共享一點(diǎn)并形成8字形)的例子；在切點(diǎn)我們無法創(chuàng)建一個(gè)滿意的到一維歐氏空間的坐標(biāo)圖。(我們可以在代數(shù)幾何中用另一種觀點(diǎn)來看，在那里我們考慮四次曲線 ((x ? 1)² + y² ? 1)((x + 1)² + y² ? 1) = 0上的復(fù)數(shù)點(diǎn)，其實(shí)數(shù)點(diǎn)構(gòu)成一對在原點(diǎn)相切的一對圓。

從微積分的觀點(diǎn)來看，圓的變換函數(shù)T只是開區(qū)間之間的函數(shù)，所以我們知道它意味著T是可微的。事實(shí)上，T在(0, 1)可微而且對于其他變換函數(shù)也是一樣。所以，這個(gè)圖集把圓圈變成可微流形。

三、坐標(biāo)圖，圖集和變換映射

1、坐標(biāo)圖(chart)

一個(gè)流形的一個(gè)坐標(biāo)映射,坐標(biāo)圖, 或簡稱圖是一個(gè)在流形的一個(gè)子集和一個(gè)簡單空間之間的雙射，使得該映射及其逆都保持所要的結(jié)構(gòu)。對于拓?fù)淞餍危摵唵慰臻g是某個(gè)歐氏空間Rn而我們感興趣的是其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這個(gè)結(jié)構(gòu)被同胚保持，也就是可逆的在兩個(gè)方向都連續(xù)的映射。

圖對于計(jì)算極其重要，因?yàn)樗沟糜?jì)算可以在簡單空間進(jìn)行，再把結(jié)果傳回流形。

例如極坐標(biāo)，是一個(gè)R2除了負(fù)x軸和原點(diǎn)之外的圖。上節(jié)提到的映射χtop是圓圈的一個(gè)圖。

2、圖集

多數(shù)流形的表述需要多于一個(gè)的圖(只有最簡單的流形只用一個(gè)圖)。覆蓋流形的一個(gè)特定的圖的集合稱為一個(gè)圖集。圖集不是唯一的，因?yàn)樗辛餍慰梢员徊煌膱D的組合用很多方式覆蓋。

包含所有和給定圖集相一致的圖的圖集稱為極大圖集。不像普通的圖集，極大圖集是唯一的。雖然可能在定義中有用，這個(gè)對象非常抽象，通常不直接使用(例如，在計(jì)算中)。

3、變換映射

圖集中的圖通常會互相重疊，而流形中的一個(gè)點(diǎn)可能會被好幾個(gè)圖所表示。如果兩個(gè)圖重疊，它們的部分會表示流形的同一個(gè)區(qū)域。這些部分之間的關(guān)聯(lián)代表流形上同一點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的映射，譬如上面圓圈例子中的映射T，稱為坐標(biāo)變換,變換函數(shù),或者轉(zhuǎn)換函數(shù),轉(zhuǎn)換映射。

4、附加的結(jié)構(gòu)

圖集也可用于定義流形上的附加結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)首先在每個(gè)圖上分別定義。如果所有變換映射和這個(gè)結(jié)構(gòu)相容，該結(jié)構(gòu)就可以轉(zhuǎn)到流形上。

這是微分流形的標(biāo)準(zhǔn)定義方式。如果圖集的變換映射對于一個(gè)拓?fù)淞餍伪３諶n 自然的微分結(jié)構(gòu)(也就是說，如果它們是微分同胚)，該微分結(jié)構(gòu)就傳到了流形上并把它變成微分流形。

通常，流形的結(jié)構(gòu)依賴于圖集，但有時(shí)不同的圖集給出相同的結(jié)構(gòu)。這樣的圖集稱為相容的。

四、構(gòu)造

一個(gè)流形可以以不同方式構(gòu)造，每個(gè)方式強(qiáng)調(diào)了流形的一個(gè)方面，因而導(dǎo)致了不同的觀點(diǎn)。

1、圖集

可能最簡單的構(gòu)造一個(gè)流形的方法是在上面的例子中的圓圈的構(gòu)造方法。首先，確認(rèn)R2的一個(gè)子集，然后覆蓋這個(gè)自己的圖冊被構(gòu)造出來。流形的概念歷史上就是從這樣的構(gòu)造發(fā)展出來的。這里有另一個(gè)例子，把這個(gè)方法應(yīng)用在球面的構(gòu)造上:

①帶圖冊的球面

球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。我們把球面視作R3的子集：

S＝{（x,y,z）∈R³│x²＋y²＋z²＝1}

球面是二維的，所以每個(gè)坐標(biāo)圖將映射球面的一部分到一個(gè)R2的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標(biāo)的部分。(在右圖中它著紅色)定義如下的函數(shù)χ

χ(x,y,z) = (x,y)

把北半球映射到開單位圓盤，通過把它投影到(x, y)平面。類似的坐標(biāo)圖對南半球也存在。和投影到(x, z)平面的兩個(gè)坐標(biāo)圖以及投影到(y, z)平面的兩個(gè)坐標(biāo)圖一起，我們得到了一個(gè)覆蓋整個(gè)球面的含6個(gè)坐標(biāo)圖的圖冊。

這可以很容易地?cái)U(kuò)展到高維的球面。

2、貼補(bǔ)

流形可以通過把碎片以一種相容的方式粘合來構(gòu)造，使得碎片成為互相覆蓋的坐標(biāo)圖。這種構(gòu)造對于任何流形都是可行的，所以經(jīng)常作為流形的表述，特別是微分和黎曼流形。它集中于圖冊的構(gòu)造，把流形作為坐標(biāo)圖所自然的提供的貼片，因?yàn)椴簧婕巴獠康目臻g，這導(dǎo)致了流形的內(nèi)在的觀點(diǎn)。

這里，流形通過給定圖冊來構(gòu)造，圖冊通過定義轉(zhuǎn)換映射來得到。流形的一個(gè)點(diǎn)因而是指通過變換映射映到同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的等價(jià)類。坐標(biāo)圖把等價(jià)類映射到一個(gè)貼片上的點(diǎn)。通常會對變換映射有很強(qiáng)的一致性要求。對于拓?fù)淞餍危鼈儽灰鬄橥撸蝗绻鼈円彩俏⒎滞撸詈蟮玫降牧餍尉褪俏⒎至餍巍?/p>

這可以通過變換映射圓圈例子的第二部分中的t = 1／s來解釋。從直線的兩個(gè)拷貝開始。第一個(gè)拷貝用坐標(biāo)s，第二個(gè)拷貝用t。現(xiàn)在，通過把第二個(gè)拷貝上的點(diǎn)t和第一個(gè)拷貝上的點(diǎn)1／s作為同一個(gè)點(diǎn)來粘合起來(點(diǎn)t = 0不和任何第一個(gè)拷貝上的點(diǎn)認(rèn)同)。這就給出了一個(gè)圓圈。

①內(nèi)在和外在的觀點(diǎn)

第一種構(gòu)造和這種構(gòu)造非常相似，但是他們代表了相當(dāng)不同的觀點(diǎn)。在第一種構(gòu)造中，流形被視為嵌入到某個(gè)歐氏空間中。這是外在的觀點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)流形用這種方式來看的時(shí)候，它很容易通過直覺從歐氏空間得倒附加的結(jié)構(gòu)。例如，在歐氏空間，很明顯某個(gè)點(diǎn)的一個(gè)向量是否和穿過該點(diǎn)的曲面 相切或者垂直。

貼補(bǔ)構(gòu)造不用任何嵌入，只是簡單把流形看作拓?fù)淇臻g本身。這個(gè)抽象的觀點(diǎn)稱為內(nèi)在的觀點(diǎn)。這使得什么是切向量更難以想象。但是它表達(dá)了流形的本質(zhì)，在計(jì)算上來講，這使我們避免了使用更高的維度，例如我們只要二維而不是三維就可以作球面上的計(jì)算。

②作為貼補(bǔ)的n維球面

n維球面Sn可以通過粘合Rn的兩個(gè)拷貝來構(gòu)造。他們之間的變換函數(shù)定義為

Rn\→Rn\∶x→x／‖x‖²

這個(gè)函數(shù)是它自身的逆，因而可以在兩個(gè)方向使用。因?yàn)樽儞Q映射是一個(gè)光滑函數(shù)，這個(gè)圖冊定義了一個(gè)光滑流形。

如果我們?nèi) = 1, 我們就得倒了上面圓圈的例子。

3、函數(shù)的零點(diǎn)

很多流形可以定義為某個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)集。這個(gè)構(gòu)造自然的把流形嵌入一個(gè)歐氏空間，因而導(dǎo)向一個(gè)外在的觀點(diǎn)。這很形象，但不幸的是不是每個(gè)流形都可以這樣表示。

如果一個(gè)可微函數(shù)的雅戈比矩陣在函數(shù)為0的每一點(diǎn)是滿秩的，則根據(jù)隱函數(shù)定理，每個(gè)這樣的點(diǎn)周圍存在一個(gè)為0的領(lǐng)域微分同胚于一個(gè)歐氏空間。因此零點(diǎn)集是一個(gè)流形。

①作為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的n維球面

n維球面Sn經(jīng)常定義為

Sn＝{x∈Rn+1∶‖x‖＝1}

這等價(jià)為如下函數(shù)的零點(diǎn)

x→‖x‖－1

這個(gè)函數(shù)的雅戈比矩陣是

[x1 … xn+1]

它的秩對于除了原點(diǎn)的所有點(diǎn)為1(對于1×n矩陣就是滿秩的)。這證明n維球面是一個(gè)微分流形。

4、認(rèn)同一個(gè)流形上的不同點(diǎn)

可以把流形上的不同點(diǎn)定義為相同。這可以視為把不同的點(diǎn)粘合為同一個(gè)點(diǎn)。結(jié)果經(jīng)常不是流形，但在有些情況下是流形。

這些情況下，認(rèn)同過程是用群來完成的，這是作用在流形上的群。兩個(gè)點(diǎn)被視為同一個(gè)如果一個(gè)能被該群的一個(gè)元素移動(dòng)到另一個(gè)上面。如果M是該流形而G是該群，結(jié)果空間稱為商空間，并記為M/G。可以通過認(rèn)同點(diǎn)來構(gòu)造的流形包括環(huán)面和實(shí)射影空間(分別從一個(gè)平面和一個(gè)球面開始)。

5、直積

流形的直積也是流形。但不是每個(gè)流形都是一個(gè)積。

積流形的維度是其因子的維度之和。其拓?fù)涫浅朔e拓?fù)洌鴺?biāo)圖的直積是積流形的坐標(biāo)圖。這樣，積流形的圖冊可以用其因子的圖冊構(gòu)造。如果這些圖冊定義了因子上的微分結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的積圖冊定義了積流形上的一個(gè)微分結(jié)構(gòu)。因子上定義的其他結(jié)構(gòu)也可以同樣處理。如果一個(gè)因子有一個(gè)邊界，積流形也有邊界。直積可以用來構(gòu)造環(huán)面和有限圓柱面，例如，分別定義它們?yōu)镾1 × S1和S1 × [0, 1]。

6、沿邊界粘合

兩個(gè)帶邊界的流形可以沿著邊界粘合。如果用正確的方式完成，結(jié)果也是流形。類似的，一個(gè)流形的兩個(gè)邊界也可以粘合起來。

形式化的，粘合可以定義為兩個(gè)邊界的一個(gè)雙射。兩個(gè)點(diǎn)被認(rèn)同為一個(gè)，如果它們互相映射到對方。對于一個(gè)拓?fù)淞餍危@個(gè)雙射必須是同胚，否則結(jié)果就不是拓?fù)淞餍巍?/strong>類似的，對于一個(gè)微分流形，它必須是微分同胚。對于其它流形，其他的結(jié)構(gòu)必須被這個(gè)雙射所保持。