環(huán)

環(huán)的定義:設(shè)R是具有兩種運算的非空集合，如果以下條件成立：
i)R對于加法構(gòu)成一個交換群
ii)R上的乘法有，對于任意的a, b, c(in)R，有(ab)c = a(bc)
iii)對任意的a, b, c(in)R，有(a+b)c = ac + bc，a(b+c) = ab + ac
則稱R為一個環(huán)

換句話說，如果R對于加法運算滿足交換群的定義，對于乘法滿足廣群的定義，并且滿足分配律，則R是一個環(huán)。

Notation：
i)如果環(huán)的乘法滿足交換律，則稱R為交換環(huán)

ii)如果R中有一個元素e = (1_R)對于R上的乘法有(forall ain R, a1_R = 1_R a=a)，則稱R為有單位元環(huán)，或者稱為含幺環(huán)

iii)如果R中存在兩個不為零的元素a, b對于R上的乘法滿足ab=0，則稱R為有零因子環(huán)

iv)如果R同時為一個交換環(huán)和一個含幺環(huán)，但沒有零因子，則稱R為整環(huán)

環(huán)的性質(zhì)

1.對任意的a(in)R，有0a=a0=0

證明.
(ecause) 0a=(0+0)a=0a+0a
( herefore) 0a=0
同理可得 a0 = 0

2.對任意的a,b(in)R，有(-a)b = a(-b) = -(ab)

證明.
(ecause) (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
( herefore)(-a)b=a(-b)=-(ab)

3.對任意a,b(in) R，有(-a)(-b)=ab，這實際上就是第二個性質(zhì)的一個實例

4.對任意的n(in)Z，a,b(in)R，(na)b=a(nb)=n(ab)，即n個a的和乘以b，或者a乘以n個b的和都等于n個ab乘積的和。

5.對任意的(a_i, b_jin R)有
((Sigma_{i=1}^n a_i)(Sigma_{j=1}^m b_j)=Sigma_{i=1}^nSigma_{j=1}^m a_i b_j)

6.設(shè)R是一個整環(huán)，則R中有消去律成立，即當c$
e$0，c·a = c·b時，有a=b

理想

定義：設(shè)R是一個環(huán)，I是R的子環(huán)，如果對任意的 r(in)R 和 a(in)I ，都有 ra(in)I ，則稱 I 是R的左理想，如果對任意的 r(in)R 和 a(in)I都有ar(in)I，則稱 I 是R的右理想。

如果 I 同時是R的左理想和右理想，則稱 I 是R的理想。

Notation：{0}和R都是R的理想，叫做R的平凡理想。

環(huán)R的非空子集 I 是理想的充要條件：
1.對任意的a, b(in)I，都有a-b(in)I
2.對任意的 r(in)R 和 a(in)I 都有 ra(in)I，ar(in)I

證明.
必要性顯然成立
充分性：
由第一個條件可知 I 是 R 的子群
再由第二個條件可知 I 對乘法是封閉的，并且 I 作為R的子集，對乘法是滿足分配律的，所以 I 是R子環(huán)
同時，I 也滿足R理想的條件。

定理：設(shè)(lbrace A_jbrace_{iin J})是R的一族理想，則(igcap_{jin J}A_j)也是一個理想

證明.
(ecause A_j)是理想
( herefore forall a,bin A_j,a-bin A_j,)對于所有的j(in)J
( herefore a-binigcap_{jin J}A_j)
對于任意的r(in)R和任意的(ainigcap_{jin J} A_j)，則有a(in A_j)，j(in)J
因為(A_j)是R的理想，所以ra(in A_j)，ar(in A_j)，j(in)J
所以(rainigcap_{jin J}A_j)，(arinigcap_{jin J}A_j)
所以(igcap_{jin J}A_j)也是R的理想

生成理想

定義：設(shè)X是環(huán)R的一個子集，設(shè)(lbrace A_jbrace_{jin J})是環(huán)R中包含X的所有理想，則新的理想(igcap_{jin J}A_j)稱由X生成的理想，記為(X)。

Notation：
1.X中的元素叫做理想(X)的生成元，如果X={(a_1,cdots,a_n)}，則理想(X)記為((a_1,cdots,a_n))，稱為有限生成的。
2.如果X={a}，則稱其生成理想(a)叫做主理想
3.環(huán)R叫做主理想環(huán)，如果R的所有理想都是主理想

定理：設(shè)R是環(huán)，則主理想(a)={(ra+ar'+na+Sigma_{i=1}^mr_ias_i | r,r',r_i,s_iin R,min N, nin Z)}

實例：整環(huán)Z是主理想環(huán)，且I=(a)的表達式為(I=(a)=lbrace sa|sin Zbrace)

推論：設(shè)I=(a)是整環(huán)Z中的理想，則整數(shù)b(in)I 的充要條件是a | b

商環(huán)

定理：設(shè)R是一個環(huán)，I是R的一個理想，則R/I對于加法運算：(a+I)+(b+I)=(a+b)+I，以及乘法運算：(a+I)(b+I)=(ab)+I構(gòu)成一個環(huán)。
并且當R是一個交換環(huán)或者是一個含幺環(huán)時，商環(huán)R/I也是一個交換環(huán)或者含幺環(huán)。

證明(非正式).
由商群的定義可知，商環(huán)R/I對加法構(gòu)成一個交換群。
對于乘法：((a+I)(b+I)=(a+i_1)(b+i_2)=ab+ai_2+i_1b+i_1i_2)
(ecause)I是R的一個理想
( herefore ai_2in I, i_1bin I)
( herefore ai_2+i_1b+i_1i_2in I)，即(a+I)(b+I)=(ab)+I
所以可以簡單理解為商群中的陪集上的運算都可以直接對應到環(huán)中代表元的運算
所以商群也構(gòu)成環(huán)，稱為商環(huán)

環(huán)同態(tài)分解定理

環(huán)同態(tài)的定義：環(huán)的同態(tài)在群的同態(tài)的基礎(chǔ)上添加了一個條件：對于G和G'中的乘法，滿足f(a(cdot)b)=f(a)(cdot)f(b)
相應的，群同態(tài)中的定理也能夠?qū)江h(huán)同態(tài)中

自然映射：設(shè)f是環(huán)R到環(huán)R'的一個同態(tài)，則核ker(f)是R的理想，反過來，如果I是R的理想，則映射，(s:R o R/I(amapsto a+I))是核為I的同態(tài)。
其證明過程與群的自然同態(tài)相似。

同態(tài)分解(由一個同態(tài)映射構(gòu)造一個同構(gòu)映射)：設(shè)f是環(huán)R到環(huán)R'的同態(tài)，則存在唯一的R/ker(f)到群f(R)的同構(gòu)映射(f':a+ker(f)mapsto f(a))。

同樣的，能夠得到一個映射轉(zhuǎn)換關(guān)系：(f=icdot f'cdot s)，其中s是環(huán)R到商環(huán)R/ker(f)的自然同態(tài)，(i:cmapsto c)是f(R)到R'的恒等映射。即：

[Rstackrel{s}{ o}R/ker(f)stackrel{f'}{ o}f(G)stackrel{i}{ o}G'stackrel{f}{leftarrow}G
]

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的环与理想的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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