原文：Kevin Hartnett，QuantaMagazine

日前，一份新鮮出爐的論文證明了近80年懸而未決的達芬-謝弗（Duffin-Schaeffer）猜想，讓數軸上諱莫如深的部分再也不如表面看來那么遙不可及。

達芬-謝弗猜想的證明完美解答了從遠古時代就困擾著數學家們的一個問題：類似

這樣的無理數在什么情況下可以用例如 這樣的簡單分數來近似表達？此證明顯示這一非常籠統的問題答案完全取決于一個公式計算的結果。

這篇論文的兩個作者為牛津大學的詹姆斯·梅納德教授以及蒙特利爾大學的迪米特利斯·科科洛博羅斯教授。梅納德教授是這么描述該猜想的：“存在一個簡單的判定條件，可以判斷你能找出幾乎所有數的近似值，或幾乎找不到任何數的近似值?！?/p>

數學家幾十年來一直懷疑這一簡單判定條件是理解高精度近似值存在與否的關鍵，但是這一猜想始終無人能夠證明。科科洛博羅斯和梅納德證明的關鍵在于他們將這一數論問題成功轉變成關于點線連接的圖論問題來研究。

德州大學奧斯汀分校的杰弗里·瓦勒教授之前曾在這一猜想上貢獻過很多成果。關于這份證明，他是這么說的：“選擇這個研究方向在我看來需要很巨大的自信心，當然，他們完全有資格擁有那份自信。他們的證明非常美。”

數學以太

有理數是很容易理解的。它們包括所有整數和所有可以寫成分數的數。

這種易于書寫的特點意味著人類對有理數的了解要超過其它所有數。但實際上有理數是很稀有的存在。絕大多數的實數都是無理數，有著無限不循環的小數，不能表達為分數形式。在歷史上，一些重要的無理數獲得了屬于自己的符號，如

、 及 等。剩下的甚至都不能被冠以名稱。它們無處不在、但又無法觸摸，就好像數學中的以太一樣。

因此，“如果我們不能精確表達無理數，那么我們能近似到什么程度？“這樣的問題就變得非常自然。這種數學技巧就是所謂的有理近似。例如，古代數學家發現圓周長和直徑的虛幻比例可以用分數

來近似表達。之后的數學家又發現了一個同樣簡便但同時又更為精確的近似值 。

牛津大學的本·格林教授解釋：“很難寫下

的定義，人們通常取而代之的是尋找 的特定近似值，一種常見方法就是利用有理數來近似?！?p>

1837年數學家古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷發現了無理數用有理數近似時的誤差大小法則。當然，只要你對于誤差不是太在意，要找到各種近似值并不難，但狄利克雷的結果成功在分數、無理數和兩者的誤差之間建立起了直接的數學關系。

他的證明顯示對于每一個無理數都存在無限多個分數可以越來越精確地近似表達該無理數。更確切來說，每個近似分數和無理數之間的誤差不超過1除以分數分母的平方。例如，分數

和 之間的誤差不到 。分數 和 之間的誤差不到 。狄利克雷成功證明了隨著分母越來越大，存在無限多的分數值和 越來越接近。

拉馬努金1913年的手稿內用355/113作為圓周率的近似值

蒙特利爾大學的安德魯·格蘭維爾教授解釋：“總可以找到分數近似表達任一實數。使得誤差不超過1除以分母平方。這是一個非凡優美的結果”。

在一定程度上，狄利克雷的發現是有理近似的一個狹義結果。它告訴你對于每個無理數，如果你允許任何整數做分母，且能容忍1除以該分母平方的誤差值，那么你可以找到無數個近似分數值。但是如果你希望只從某些特定整數（無限）子集里取分母，例如只看所有質數，或是所有完全平方數？如果你希望誤差小于

或任何你選擇的數？在這些條件下你是否依然能找出無限個近似分數？

達芬-謝弗猜想試圖在有理近似中構建一個盡可能基本的框架。1941年，數學家R·J·達芬和A·C·謝弗想象了下列步驟。首先，選出一個無限長的整數數列包括所有可能的分母，這個數列可以包括任何你想要的整數：所有的奇數，所有10的倍數，或是任選無限個質數等等。

然后，對數列上的每一個分母你都可以定義一個相應的誤差值。直覺告訴你如果這個誤差定義得越松，就越可能找到符合條件的近似值，反之則越難?？瓶坡宀┝_斯解釋說：“只要誤差不是太小隨便怎么定義都沒差?！?/p>

最后，在選定分母數列以及相應的誤差數列后，你想要知道的是：隨便取一個無理數，能不能找到無限多個符合條件的近似分數？

達芬-謝弗猜想提供了一個數學函數來進行判斷。把你選擇的參數丟進去，這個函數會出現兩種結果。達芬和謝弗猜測這兩種結果恰好對應于兩種可能：或者你的數列可以在給出的誤差值內得出幾乎所有無理數的近似分數，或者你的數列幾乎不能近似表達任何無理數。（這里的“幾乎”非常關鍵，對于任何一組分母，總有可忽略的少量無理數能被近似表達，同樣也總有可忽略的少量無理數無法被近似表達）。

梅納德表示：“你要么成功得到幾乎所有數的近似值，要么幾乎得不到任何數的近似值。沒有折中的選擇?！?/p>

這個猜想的表達極為廣義，概括了有理近似的一切細節。數學家們一直覺得達芬和謝弗提出的判定條件是正確的。但是，只確定這個函數的結果是兩種情況的哪一種，就能完全確定是否能找到近似值的完整證明相當困難。

迪米特利斯·科科洛博羅斯（左）和詹姆斯·梅納德（右）在今年7月意大利舉辦的一次學會上公布了他們的達芬·謝弗猜想證明

重復計數

證明達芬-謝弗猜想其實在于理解你選出的每一個分母有多大覆蓋力。為了看清這一點，可以思考一個簡易版的問題。

假設你要計算0和1之間所有無理數的近似值，并可以用1到10做為分母?？赡艿姆謹岛芏?#xff1a;首先是

，然后是 、 ，然后是 、 、 等，最后一直到 和 。但是這些分數并不都有用。

例如，分數

和分數 是相等的，而分數 則和 、 、 、 一樣。在達芬-謝弗猜想之前，數學家亞歷山大·辛欽已經提出了一個關于有理近似的一般性猜想。但是他的定理并沒有考慮這些相等分數每個只能算一次這個問題。

格蘭維爾評論道：“通常一年級數學不應該影響問題的結果，但是在這個情況下影響確確實實存在?！?/p>

因此，達芬-謝弗猜想增加了一個系數來表達每個分母可以獲得的獨特分數（或最簡分數）數目。這個系數即以18世紀數學家萊昂哈德·歐拉命名的歐拉

函數。10的歐拉 函數值為4，因為0到1之間以10為分母的分數只有4個最簡分數： 、 、 、 。

下一步就是找出每個最簡分數可以近似表達多少個無理數。這當然取決于你愿意承受的誤差大小。達芬-謝弗猜想允許你為每一個分母選擇一個誤差值。例如你可能要求分母為7的分數誤差為0.02，或者你對于分母為10的分數要求嚴格一點，允許誤差0.01。

一旦選好分數和誤差，是時候開始撒網捕無理數了。在數軸上0和1之間標出你的所有分數，將誤差想象為在每個分數兩邊張開的網。那些被網罩住的無理數都是可以被你的分母成功近似表達的數。剩下的最重要問題就是：你到底能抓到幾個無理數？

在數軸上任一區間內都存在無限個無理數，因此被抓到的無理數個數是不能精確定義的。數學家們更關心每個分數捕捉到的無理數占全部無理數的比例。他們用一種稱為數集“測度”的概念來量化此類比例，打個比方，這就好像用總重量而不是數目來量化捕魚總量。

達芬-謝弗猜想讓你將所有近似分數捕捉到的無理數集測度加起來，并將其表達為一個無限項求和的公式。該猜想的核心提議就是：如果這個和趨向于無窮，那么你的近似值將捕捉到幾乎所有的無理數，如果這個和有限，不管多大，你的近似值幾乎沒有抓住任何無理數。

討論無限項求和是“發散”至無窮或是“收斂”于有限的問題在數學中經常出現。達芬-謝弗猜想的關鍵之處在于如果你想要知道一組分母和相應誤差值是否能近似表達幾乎所有的無理數，你唯一需要知道的就是這組分母相應的測度和到底發散還是收斂。

瓦勒對此是這么評論的：“說到底，不管你是用什么方法決定每個分母相應的精確程度，最終你成功與否完全取決于這個無窮數列求和是否發散?！?/p>

作“圖”解答

你也許會想到：如果一個分數的誤差區間和另一個分數的誤差區間重疊呢？這種情況下把區間的測度相加不是重復計算了嗎？

對于某些分母數列來說，這種重復計算的問題并不大。例如，數學家幾十年前就證明了達芬-謝弗猜想對于所有質數組成的數列成立。但是對于很多其它可能的數列，重復計算是個很大的問題。這也是為什么數學家整整80年都沒有證明這個猜想的最大原因。

兩個分母捕捉到的無理數相互重疊的程度取決于兩個分母之間有多少個公共質因數。舉個例子，取分母12和35，12的質因數為2和3。35的質因數為5和7。換句話說，12和35不存在公共質因數，因此以12和35做分母的分數可以近似表達的無理數重疊并不嚴重。

但是換成12和20又會怎么樣呢？20的質因數為2和5，與12的質因數有交集。因此，分母20的分數可以近似表達的無理數和分母12的分數可以近似表達的無理數之間存在顯著重疊。在此類情況下，即數列中的數之間存在很多公共的小質因數，近似區間有大量重疊時，達芬-謝弗猜想的證明難度最大。

牛津大學的山姆·周解釋：“當分母數列中存在很多共同的小質因數時，它們開始互相干涉?！?/p>

于是，證明猜想的關鍵就變成：對于一組擁有很多小公共質因數的分母，找出一種方法來精確量化它們可以近似表達的無理數集之間重疊的程度。80年來沒人能做到這一點。而科科洛博羅斯和梅納德通過一種嶄新的視角成功解決了這一難點。

在這份新出爐的證明里，他們用分母構建了一張圖，在圖上用分母做頂點，頂點間如果存在公共質因數則用邊連接。這張圖的結構記錄了每個分母可以近似表達的無理數集之間的重疊。雖然要直接算出這種重疊很困難，但科科洛博羅斯和梅納德找到了一種用圖論技巧分析該圖結構的方法，并借此找到了他們所尋找的信息。

科科洛博羅斯表示：“這張圖算是一種視覺輔助，是幫助我們思考這個問題的優美語言?！?/p>

科科洛博羅斯和梅納德成功證明了達芬-謝弗猜想成立：如果你拿到一個分母數列和每個分母相對應的誤差值，你只要算出每個分母對應的測度之和是發散至無窮還是收斂于有限，就能夠決定這一數列能夠近似表達幾乎所有的無理數，還是幾乎不能近似表達任何無理數。

這是一個極為優美的測試，它將有理近似的本質這一巨大問題簡化為一個可計算的值。科科洛博羅斯和梅納德的成功證明賦予這個測試一般性，并從而達成了數學領域最為罕見的成就之一：給某個領域的最基本問題畫上句號。

格林教授是這么評論的：“他們的證明建立了充分必要條件。我想它標志著一個數學篇章的結束。”

總結

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