問題 ? ?設$\mathbb P$為全體素數的集合,證明級數$$\sum_{p\in\mathbb P}\frac{1}{p}$$

發散.

證明 ? ?做這個問題前，必須知道一個常識:全體素數集$\mathbb P$是無限的.所以題中才能作為級數.

如果結論不成立,則存在$k\in\mathbb N$使得$$\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}}<\frac{1}{2}$$

讓$m=p_{1}\cdots p_{k}$,那么$$1+mn,\forall n\in\mathbb N$$

的素因子都在$p_{k+1},p_{k+2},\cdots$中,這樣的話\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+mn}&\leq\sum_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}}\right)^i<\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^i}\end{align*}

所以左邊收斂，這與調和級數發散相矛盾!

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的素数倒数的级数发散性的一个证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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