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• 域
• 有限域
• 有限域上的運算
• 有限域多項式

域

域F由元素和加法、乘法兩種運算組成，且每種運算下都有逆運算（減法、除法）存在。域F內同時滿足加法和乘法運算的各個元素需要滿足以下條件：
（1）對于加法和乘法運算，F是封閉的，即F內任意兩個元素之和或之積仍在F內；
（2）對每種運算，域內元素通常滿足結合律和交換律；
（3）滿足通常的分配律；
（4）F內的任何元素u都有一個唯一的加法恒元0和乘法恒元1，滿足以下關系：u+0=u，u x1=u。
（5）域內的每個元素u都有一個唯一的加法逆元-u，且：u+（-u）=0。當u！=0時，有一個唯一的乘法逆元u^-1，且u x （u^-1）=1.。
域內元素的個數稱為域的階，可以是有限的，也可以是無限的。

有限域

有限域以 GF（q） 表示， q 是域內的 元素個數。對任何的 q^m ，都存在一個有限域 GF（q^m） ,其中 q 是素數， m 是整數。 GF（2） 是最簡單的素域，他只含有 0 和 1 表示的 0 元和 1 元。
有限域在編碼理論中具有重要的地位，包括有限個元素的域成為有限域或伽羅華域，通常把有 q 個元素的有限域幾位 GF（q） 。每個域中必須包含一個零元 0 和一個單位元 e ，若 q 為素數，則可構成一個由元素 {0，1，…，q-1} 組成的 q 元域 GF（q） 。對任何正整數m，都可以將 GF（q） 擴展成 GF（q^m），稱之為 GF（q） 的 m 次擴域。
在有限域 GF（q）中，加法和乘法運算定義為模 q 運算，記為 mod q 。在域 GF（q） 中，滿足 ne=0 的最小正整數 n 稱為域的特征。域中一切非零元素的特征都等于域的特征，域的特征一定為素數。非零元素構成的乘法群的階定義為域中該元素的級。若 a 為域 GF（q） 中的 n 級元素，則稱 a 為 n 次單位原根。若某一元素 a 的級為 q-1 ，則稱 a 為本院域元素合伙本原元。域的特征表明了域中加法運算的循環性，域的級表明了域中乘法運算的循環性。
二元域 GF（2）是擴域 GF（2^m） 的一個子域，類似于實數域的一個子域。有限元素的集合 GF（2^m） 只能含有 2^m 個元素，可以全部有本原元 a 的冪次和零元 0 表示，并且對乘法封閉，其約束條件為
b= 2^m-1
a^b+1=0
根據這個限制條件，任何冪次等于或超于 b 的域元素都可將為下述冪次小于 b 的元素。
A=2^m+n, B=2^m-1, C=2ⁿ+1
a^A=a^Ba^C=a^C
因此 GF（2^m） 的全部元素就可以表示為
GF（2^m） ={0， a⁰, a¹, …, a^b-1}

有限域上的運算

有限域的一個重要的性質是每個有限域 GF（q） 至少包括一個本原 a 。該元素的 q-1 次冪就是這個域的 q-1 個非零元素，也即 q-1 個非零元素可表示為 {a, a², … , a^q-2} 且互不相等，所以 aⁱa^j 的 q-1中乘積也互不相等。域中所有非零元素都可以用本原元 a 的前 q-1 個秘書來表示，即也可用他們各自的指數表示各個域元素。
在實際使用中，需要將域元素表示為便于計算機計算的形式。如下：
首先， GF（q）內各個元素可以構成 m 重的總數為 q^m 個元素，并且組成了一個 GF（q） 上的 m 維矢量空間。
其次，可以使用 GF（q） 中矢量的加減法進行矢量的相加和相減運算，并得到這個適量空間內的另一個矢量。
然后，為了進行矢量的乘法與除法，需要將矢量表示為多項式，其各項的系數于是兩中的各元素相對應。與矢量相加相同，可以對所想是進行諸位相加。
最后，每個系數取自有限域 GF（q）的 m 次不可約多項式，最少有一個元素個數為 q^m 的有限域 GF（q）與其對應存在。
在運算過程中，元素的基本形式是十進制，運算過程如下：
（1）加法：將兩個十進制數先轉換為兩個二進制數表示，然后將對應位進行異或運算，再將運算結果轉換成十進制存儲；
（2）乘法：把兩個元素的十進制表示轉換成指數形式，將指數直接相加，取模后得到乘積的指數形式，然后在轉換稱十進制形式存儲。

有限域多項式

（1）域上多項式：系數取自域 GF（q）的多項式 f(x)。
（2）既約多項式：設 f(x) 是次數大于零的多項式，若出了常數和常數與本身的乘積以外再不能被 GF（q）上其他多項式除盡，則稱 f(x) 為域 GF（q） 上的既約多項式。
（3）最小多項式：系數取自有限域 GF（q） ，且以 a 為根的所有首一多項式（即最高次數的系數為1的多項式）中，必有一個次數最低的，稱之為 a 的最小多項式。
（4）本原多項式：系數取自有限域 GF（q） ，且以域 GF（q^m） 上本原域元素為根的最小多項式成為本原多項式。一個多項式是本原多項式的充要條件是：如果一個 m 階既約多項式 f(x) 整除 xⁿ+1 的最小正整數 n 滿足 n=2^m-1 ， 則該多項式是本原的。如下例所示：給定兩個多項式 p1(x)=x⁴+x+1 和 p2(x)=x⁴+x³+x²+x+1， 判斷多項式是否為本原多項式。
通過驗證這個冪次為 m=4 的多項式是否能夠整除 xⁿ+1， 但不能整除 1<=n<15 范圍內的 xⁿ+1 ，就可以確定他是否為本原多項式。經反復計算， p1(x) 是本原多項式， p2(x) 不是，因為他能整除 x⁵+1。
不同 m 之對應的部分本原多項式如下所示：

例如，假設 a 是 GF(2^m) 的本原多項式 p(x) 的根，也即 GF(2^m) 的本原元，則可以由零元和本原元 a 得到 GF(2^m) 的全部元素， m=3 時 GF(2³) 的元素如下表所示：

冪次表示②進制表示⑩進制表示

0	000	0
a0=1	001	1
a1=a	010	2
a2=a2	011	3
a3=a+1	100	4
a4=a2+a	101	5
a5=a2+a+1	110	6
a6=a2+1	111	7

對上述例子進行詳細說明如下：
當 m=3 是，其本原多項式可從上上表中獲知為 p(x)=x³+x+1，所以由 p(x) 所定義的有限域中包含了 2^m=2³=8 個元素。求解 p(x) 的根，即找到使 p(x)=0 的 x 。因為 p(0)=p(1)=1 （運用模2運算），所以二進制數 0 和 1 都不是 p(x) 的根。由基本代數學理論可知，次數為 m 的多項式必然有 m 個根。對于 m=3，p(x)=0 有3個根，這3個根不可能位于與 p(x) 系數相同的有限域中，而是位于擴展域 GF(2³) 中。用擴域的元素 a 來定義多項式 p(x) 的根，可寫成 p(a)=0 ，即
a³+a+1=0 ——> a³=a+1
這意味著 a³ 可以表示更低階的 a 項的加權和（模2加法運算等價于模2減法運算）。類似的，有：
a⁴=a x a³=a x (a+1) =a²+a
a⁵=a x a⁴=a x (a²+a)=a³+a²=a²+a+1
…
從而有限域 GF(2³) 的全部元素為
GF(2³) ={0，1，a， a²， a³ ， a⁴， a⁵， a⁶}
我們可以通過窮舉來確定本原多項式的根，由于僅有 p(a)=p(a²)=p(a⁴)=0 ，因此， p(x) 的根為 a、a²、a⁴。
另外， GF(2^m) 的每個元素的最小多項式 m(x) 可以通過多項式分解得到。仍以 GF(2³) 為例進行說明。對于 GF(2³) ，p=2，m=3， 因此，對 x⁷+1 進行分解，我們可以得到
x⁷+1 =(x+1)(x³+x+1)(x³+x²+1)
而 GF(2³) 的所有非0元素為
{1，a， a²， a³ ， a⁴， a⁵， a⁶}={1，a，a²，a+1，a²+a，a²+a+1，a²+1}
在 GF(2³) 上，有
x³+x+1=(x+a)(x+a²)(x+a²+a)
x³+x²+1=(x+a+1)(x+a²+1)(x+a²+a+1)
可以將上述分解式寫為：
x⁷+1=(x+1)(x+a)(x+a²)(x+a²+a)(x+a+1)(x+a²+1)(x+a²+a+1)
=(x+1)[(x+a)(x+a²)(x+a²+a)][(x+a+1)(x+a²+1)(x+a²+a+1)]*
由此，可得到每個根的最小多項式，如下表所示。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的伽罗华域（有限域）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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