轉自機器之心整理的，來自Goodfellow 在 NIPS 2016 的演講和臺大李弘毅的解釋，完成原 GAN 的推導、證明與實現。

本文主要分四部分，第一部分描述 GAN 的直觀概念，第二部分描述概念與優化的形式化表達，第三部分將對 GAN 進行詳細的理論推導與分析，最后我們將實現前面的理論分析。

原文地址：https://baijiahao.baidu.com/s?id=1580024390078548003&wfr=spider&for=pc

GitHub項目地址：https://github.com/jiqizhixin/ML-Tutorial-Experiment

生成對抗網絡基本概念

要理解生成對抗模型（GAN），首先要了解生成對抗模型可以拆分為兩個模塊：一個是判別模型，另一個是生成模型。簡單來說就是：兩個人比賽，看是 A 的矛厲害，還是 B 的盾厲害。比如，我們有一些真實數據，同時也有一把隨機生成的假數據。A 拼命地把隨手拿過來的假數據模仿成真實數據，并揉進真實數據里。B 則拼命地想把真實數據和假數據區分開。

這里，A 就是一個生成模型，類似于造假幣的，一個勁地學習如何騙過 B。而 B 則是一個判別模型，類似于稽查警察，一個勁地學習如何分辨出 A 的造假技巧。

如此這般，隨著 B 的鑒別技巧越來越厲害，A 的造假技巧也是越來越純熟，而一個一流的假幣制造者就是我們所需要的。雖然 GAN 背后的思想十分直觀與樸素，但我們需要更進一步了解該理論背后的證明與推導。

總的來說，Goodfellow 等人提出來的 GAN 是通過對抗過程估計生成模型的新框架。在這種框架下，我們需要同時訓練兩個模型，即一個能捕獲數據分布的生成模型 G 和一個能估計數據來源于真實樣本概率的判別模型 D。生成器 G 的訓練過程是最大化判別器犯錯誤的概率，即判別器誤以為數據是真實樣本而不是生成器生成的假樣本。因此，這一框架就對應于兩個參與者的極小極大博弈（minimax game）。在所有可能的函數 G 和 D 中，我們可以求出唯一均衡解，即 G 可以生成與訓練樣本相同的分布，而 D 判斷的概率處處為 1/2，這一過程的推導與證明將在后文詳細解釋。

當模型都為多層感知機時，對抗性建模框架可以最直接地應用。為了學習到生成器在數據 x 上的分布 P_g，我們先定義一個先驗的輸入噪聲變量 P_z(z)，然后根據 G(z;θ_g) 將其映射到數據空間中，其中 G 為多層感知機所表征的可微函數。我們同樣需要定義第二個多層感知機 D(s;θ_d)，它的輸出為單個標量。D(x) 表示 x 來源于真實數據而不是 P_g 的概率。我們訓練 D 以最大化正確分配真實樣本和生成樣本的概率，因此我們就可以通過最小化 log(1-D(G(z))) 而同時訓練 G。也就是說判別器 D 和生成器對價值函數 V(G,D) 進行了極小極大化博弈：

我們后一部分會對對抗網絡進行理論上的分析，該理論分析本質上可以表明如果 G 和 D 的模型復雜度足夠（即在非參數限制下），那么對抗網絡就能生成數據分布。此外，Goodfellow 等人在論文中使用如下案例為我們簡要介紹了基本概念。

上面比較精簡地介紹了生成對抗網絡的基本概念，下一節將會把這些概念形式化，并描述優化的大致過程。

概念與過程的形式化

理論完美的生成器

該算法的目標是令生成器生成與真實數據幾乎沒有區別的樣本，即一個造假一流的 A，就是我們想要的生成模型。數學上，即將隨機變量生成為某一種概率分布，也可以說概率密度函數為相等的：P_G(x)=P_data(x)。這正是數學上證明生成器高效性的策略：即定義一個最優化問題，其中最優生成器 G 滿足 P_G(x)=P_data(x)。如果我們知道求解的 G 最后會滿足該關系，那么我們就可以合理地期望神經網絡通過典型的 SGD 訓練就能得到最優的 G。

最優化問題

正如最開始我們了解的警察與造假者案例，定義最優化問題的方法就可以由以下兩部分組成。首先我們需要定義一個判別器 D 以判別樣本是不是從 P_data(x) 分布中取出來的，因此有：

其中 E 指代取期望。這一項是根據「正類」（即辨別出 x 屬于真實數據 data）的對數損失函數而構建的。最大化這一項相當于令判別器 D 在 x 服從于 data 的概率密度時能準確地預測 D(x)=1，即：

另外一項是企圖欺騙判別器的生成器 G。該項根據「負類」的對數損失函數而構建，即：

因為 x<1的對數為負，那么如果最大化該項的值，則需要令均值d(g(z))≈0，因此g并沒有欺騙d。為了結合這兩個概念，判別器的目標為最大化：< span="">

給定生成器 G，其代表了判別器 D 正確地識別了真實和偽造數據點。給定一個生成器 G，上式所得出來的最優判別器可以表示為

（下文用 D_G*表示）。定義價值函數為：

然后我們可以將最優化問題表述為：

現在 G 的目標已經相反了，當 D=D_G*時，最優的 G 為最小化前面的等式。在論文中，作者更喜歡求解最優化價值函的 G 和 D 以求解極小極大博弈：

對于 D 而言要盡量使公式最大化（識別能力強），而對于 G 又想使之最小（生成的數據接近實際數據）。整個訓練是一個迭代過程。其實極小極大化博弈可以分開理解，即在給定 G 的情況下先最大化 V(D,G) 而取 D，然后固定 D，并最小化 V(D,G) 而得到 G。其中，給定 G，最大化 V(D,G) 評估了 P_G 和 P_data 之間的差異或距離。

最后，我們可以將最優化問題表達為：

上文給出了 GAN 概念和優化過程的形式化表達。通過這些表達，我們可以理解整個生成對抗網絡的基本過程與優化方法。當然，有了這些概念我們完全可以直接在 GitHub 上找一段 GAN 代碼稍加修改并很好地運行它。但如果我們希望更加透徹地理解 GAN，更加全面地理解實現代碼，那么我們還需要知道很多推導過程。比如什么時候 D 能令價值函數 V(D,G) 取最大值、G 能令 V(D,G) 取最小值，而 D 和 G 該用什么樣的神經網絡（或函數），它們的損失函數又需要用什么等等?？傊?#xff0c;還有很多理論細節與推導過程需要我們進一步挖掘。

理論推導

在原 GAN 論文中，度量生成分布與真實分布之間差異或距離的方法是 JS 散度，而 JS 散度是我們在推導訓練過程中使用 KL 散度所構建出來的。所以這一部分將從理論基礎出發再進一步推導最優判別器和生成器所需要滿足的條件，最后我們將利用推導結果在數學上重述訓練過程。這一部分為我們下一部分理解具體實現提供了強大的理論支持。

KL 散度

在信息論中，我們可以使用香農熵（Shannon entropy）來對整個概率分布中的不確定性總量進行量化：

如果我們對于同一個隨機變量 x 有兩個單獨的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我們可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）來衡量這兩個分布的差異：

在離散型變量的情況下，KL 散度衡量的是，當我們使用一種被設計成能夠使得概率分布 Q 產生的消息的長度最小的編碼，發送包含由概率分布 P 產生的符號的消息時，所需要的額外信息量。

KL 散度有很多有用的性質，最重要的是它是非負的。KL 散度為 0 當且僅當 P 和 Q 在離散型變量的情況下是相同的分布，或者在連續型變量的情況下是 『幾乎處處』 相同的。因為 KL 散度是非負的并且衡量的是兩個分布之間的差異，它經常 被用作分布之間的某種距離。然而，它并不是真的距離因為它不是對稱的：對于某些 P 和 Q，D_KL(P||Q) 不等于 D_KL(Q||P)。這種非對稱性意味著選擇 D_KL(P||Q) 還是 D_KL(Q||P) 影響很大。

在李弘毅的講解中，KL 散度可以從極大似然估計中推導而出。若給定一個樣本數據的分布 P_data(x) 和生成的數據分布 P_G(x;θ)，那么 GAN 希望能找到一組參數θ使分布 P_g(x;θ) 和 P_data(x) 之間的距離最短，也就是找到一組生成器參數而使得生成器能生成十分逼真的圖片。

現在我們可以從訓練集抽取一組真實圖片來訓練 P_G(x;θ) 分布中的參數 θ 使其能逼近于真實分布。因此，現在從 P_data(x) 中抽取 m 個真實樣本 {x^1,x^2,…,x^}，其中符號「^」代表上標，即 x 中的第 i 個樣本。對于每一個真實樣本，我們可以計算 P_G(x^i;θ)，即在由 θ 確定的生成分布中，x^i 樣本所出現的概率。因此，我們就可以構建似然函數：

其中「∏」代表累乘、P_G(x^i;θ) 代表第 i 個樣本在生成分布出現的概率。從該似然函數可知，我們抽取的 m 個真實樣本在 P_G(x;θ) 分布中全部出現的概率值可以表達為 L。又因為若 P_G(x;θ) 分布和 P_data(x) 分布相似，那么真實數據很可能就會出現在 P_G(x;θ) 分布中，因此 m 個樣本都出現在 P_G(x;θ) 分布中的概率就會十分大。

下面我們就可以最大化似然函數 L 而求得離真實分布最近的生成分布（即最優的參數θ）：

在上面的推導中，我們希望最大化似然函數 L。若對似然函數取對數，那么累乘 ∏ 就能轉化為累加 ∑，并且這一過程并不會改變最優化的結果。因此我們可以將極大似然估計化為求令 log[P_G(x;θ)] 期望最大化的 θ，而期望 E[logP_G(x;θ)] 可以展開為在 x 上的積分形式：∫P_data(x)logP_G(x;θ)dx。又因為該最優化過程是針對 θ 的，所以我們添加一項不含 θ 的積分并不影響最優化效果，即可添加 -∫P_data(x)logP_data(x)dx。添加該積分后，我們可以合并這兩個積分并構建類似 KL 散度的形式。該過程如下：

這一個積分就是 KL 散度的積分形式，因此，如果我們需要求令生成分布 P_G(x;θ) 盡可能靠近真實分布 P_data(x) 的參數 θ，那么我們只需要求令 KL 散度最小的參數 θ。若取得最優參數 θ，那么生成器生成的圖像將顯得非常真實。

推導存在的問題

下面，我們必須證明該最優化問題有唯一解 G*，并且該唯一解滿足 P_G=P_data。不過在開始推導最優判別器和最優生成器之前，我們需要了解 Scott Rome 對原論文推導的觀點，他認為原論文忽略了可逆條件，因此最優解的推導不夠完美。

在 GAN 原論文中，有一個思想和其它很多方法都不同，即生成器 G 不需要滿足可逆條件。Scott Rome 認為這一點非常重要，因為實踐中 G 就是不可逆的。而很多證明筆記都忽略了這一點，他們在證明時錯誤地使用了積分換元公式，而積分換元卻又恰好基于 G 的可逆條件。Scott 認為證明只能基于以下等式的成立性：

該等式來源于測度論中的 Radon-Nikodym 定理，它展示在原論文的命題 1 中，并且表達為以下等式：

我們看到該講義使用了積分換元公式，但進行積分換元就必須計算 G^(-1)，而 G 的逆卻并沒有假定為存在。并且在神經網絡的實踐中，它也并不存在?？赡苓@個方法在機器學習和統計學文獻中太常見了，因此我們忽略了它。

最優判別器D

在極小極大博弈的第一步中，給定生成器 G，最大化 V(D,G) 而得出最優判別器 D。其中，最大化 V(D,G) 評估了 P_G 和 P_data 之間的差異或距離。因為在原論文中價值函數可寫為在 x 上的積分，即將數學期望展開為積分形式：

其實求積分的最大值可以轉化為求被積函數的最大值。而求被積函數的最大值是為了求得最優判別器 D，因此不涉及判別器的項都可以看作為常數項。如下所示，P_data(x) 和 P_G(x) 都為標量，因此被積函數可表示為 a*D(x)+b*log(1-D(x))。

若令判別器 D(x) 等于 y，那么被積函數可以寫為：

為了找到最優的極值點，如果 a+b≠0，我們可以用以下一階導求解：

如果我們繼續求表達式 f(y) 在駐點的二階導：

其中 a,b∈(0,1)。因為一階導等于零、二階導小于零，所以我們知道 a/(a+b) 為極大值。若將 a=P_data(x)、b=P_G(x) 代入該極值，那么最優判別器 D(x)=P_data(x)/(P_data(x)+P_G(x))。

最后我們可以將價值函數表達式寫為：

如果我們令 D(x)=P_data/(P_data+P_G)，那么我們就可以令價值函數 V(G,D) 取極大值。因為 f(y) 在定義域內有唯一的極大值，最優 D 也是唯一的，并且沒有其它的 D 能實現極大值。

其實該最優的 D 在實踐中并不是可計算的，但在數學上十分重要。我們并不知道先驗的 P_data(x)，所以我們在訓練中永遠不會用到它。另一方面，它的存在令我們可以證明最優的 G 是存在的，并且在訓練中我們只需要逼近 D。

最優生成器G

當然 GAN 過程的目標是令 P_G=P_data。這對最優的 D 意味著什么呢？我們可以將這一等式代入 D_G*的表達式中：

這意味著判別器已經完全困惑了，它完全分辨不出 P_data 和 P_G 的區別，即判斷樣本來自 P_data 和 P_G 的概率都為 1/2?；谶@一觀點，GAN 作者證明了 G 就是極小極大博弈的解。該定理如下：

「當且僅當 P_G=P_data，訓練標準 C(G)=maxV(G,D) 的全局最小點可以達到?！?/p>

以上定理即極大極小博弈的第二步，求令 V(G,D*) 最小的生成器 G（其中 G*代表最優的判別器）。之所以當 P_G(x)=P_data(x) 可以令價值函數最小化，是因為這時候兩個分布的 JS 散度 [JSD(P_data(x) || P_G(x))] 等于零，這一過程的詳細解釋如下。

原論文中的這一定理是「當且僅當」聲明，所以我們需要從兩個方向證明。首先我們先從反向逼近并證明 C(G) 的取值，然后再利用由反向獲得的新知識從正向證明。設 P_G=P_data（反向指預先知道最優條件并做推導），我們可以反向推出：

該值是全局最小值的候選，因為它只有在 P_G=P_data 的時候才出現。我們現在需要從正向證明這一個值常常為最小值，也就是同時滿足「當」和「僅當」的條件。現在放棄 P_G=P_data 的假設，對任意一個 G，我們可以將上一步求出的最優判別器 D* 代入到 C(G)=maxV(G,D) 中：

因為已知 -log4 為全局最小候選值，所以我們希望構造某個值以使方程式中出現 log2。因此我們可以在每個積分中加上或減去 log2，并乘上概率密度。這是一個十分常見并且不會改變等式的數學證明技巧，因為本質上我們只是在方程加上了 0。

采用該技巧主要是希望能夠構建成含 log2 和 JS 散度的形式，上式化簡后可以得到以下表達式：

因為概率密度的定義，P_G 和 P_data 在它們積分域上的積分等于 1，即：

此外，根據對數的定義，我們有：

因此代入該等式，我們可以寫為：

現在，如果讀者閱讀了前文的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence），那么我們就會發現每一個積分正好就是它。具體來說：

KL 散度是非負的，所以我們馬上就能看出來 -log4 為 C(G) 的全局最小值。

如果我們進一步證明只有一個 G 能達到這一個值，因為 P_G=P_data 將會成為令 C(G)=log4 的唯一點，所以整個證明就能完成了。

從前文可知 KL 散度是非對稱的，所以 C(G) 中的 KL(P_data || (P_data+P_G)/2) 左右兩項是不能交換的，但如果同時加上另一項 KL(P_G || (P_data+P_G)/2)，它們的和就能變成對稱項。這兩項 KL 散度的和即可以表示為 JS 散度（Jenson-Shannon divergence）：

假設存在兩個分布 P 和 Q，且這兩個分布的平均分布 M=(P+Q)/2，那么這兩個分布之間的 JS 散度為 P 與 M 之間的 KL 散度加上 Q 與 M 之間的 KL 散度再除以 2。

JS 散度的取值為 0 到 log2。若兩個分布完全沒有交集，那么 JS 散度取最大值 log2；若兩個分布完全一樣，那么 JS 散度取最小值 0。

因此 C(G) 可以根據 JS 散度的定義改寫為：

這一散度其實就是 Jenson-Shannon 距離度量的平方。根據它的屬性：當 P_G=P_data 時，JSD(P_data||P_G) 為 0。綜上所述，生成分布當且僅當等于真實數據分布式時，我們可以取得最優生成器。

收斂

現在，該論文的主要部分已經得到了證明：即 P_G=P_data 為 maxV(G,D) 的最優點。此外，原論文還有額外的證明白表示：給定足夠的訓練數據和正確的環境，訓練過程將收斂到最優 G，我們并不詳細討論這一塊。

?

重述訓練過程

下面是推導的最后一步，我們會重述整個參數優化過程，并簡要介紹實際訓練中涉及的各個過程。

1.參數優化過程

若我們需要尋找最優的生成器，那么給定一個判別器 D，我們可以將 maxV(G,D) 看作訓練生成器的損失函數 L(G)。既然設定了損失函數，那么我們就能使用 SGD、Adam 等優化算法更新生成器 G 的參數，梯度下降的參數優化過程如下：

其中求 L(G) 對θ_G 的偏導數涉及到求 max{V(G,D)} 的偏導數，這種對 max 函數求微分的方式是存在且可用的。

現在給定一個初始 G_0，我們需要找到令 V(G_0,D) 最大的 D_0*，因此判別器更新的過程也就可以看作損失函數為-V(G,D) 的訓練過程。并且由前面的推導可知，V(G,D) 實際上與分布 P_data(x) 和 P_G(x) 之間的 JS 散度只差了一個常數項。因此這樣一個循環對抗的過程就能表述為：

給定 G_0，最大化 V(G_0,D) 以求得 D_0*，即 max[JSD(P_data(x)||P_G0(x)]；

固定 D_0*，計算θ_G1 ← θ_G0 η(dV(G,D_0*) /dθ_G) 以求得更新后的 G_1；

固定 G_1，最大化 V(G_1,D_0*) 以求得 D_1*，即 max[JSD(P_data(x)||P_G1(x)]；

固定 D_1*，計算θ_G2 ← θ_G1 η(dV(G,D_0*) /dθ_G) 以求得更新后的 G_2；

。。。

2.實際訓練過程

根據前面價值函數 V(G,D) 的定義，我們需要求兩個數學期望，即 E[log(D(x))] 和 E[log(1-D(G(z)))]，其中 x 服從真實數據分布，z 服從初始化分布。但在實踐中，我們是沒有辦法利用積分求這兩個數學期望的，所以一般我們能從無窮的真實數據和無窮的生成器中做采樣以逼近真實的數學期望。

若現在給定生成器 G，并希望計算 maxV(G,D) 以求得判別器 D，那么我們首先需要從 P_data(x) 采樣 m 個樣本 {x^1,x^2,…,x^m}，從生成器 P_G(x) 采樣 m 個樣本

。因此最大化價值函數 V(G,D) 就可以使用以下表達式近似替代：

若我們需要計算上述的極大化過程，可以采用等價形式的訓練方法。若我們有一個二元分類器 D（參數為 θ_d），當然該分類器可以是深度神經網絡，那么極大化過程的輸出就為該分類器 D(x)?，F在我們從 P_data(x) 抽取樣本作為正樣本，從 P_G(x) 抽取樣本作為負樣本，同時將逼近負 V(G,D) 的函數作為損失函數，因此我們就將其表述為一個標準的二元分類器的訓練過程：

在實踐中，我們必須使用迭代和數值計算的方法實現極小極大化博弈過程。在訓練的內部循環中完整地優化 D 在計算上是不允許的，并且有限的數據集也會導致過擬合。因此我們可以在 k 個優化 D 的步驟和一個優化 G 的步驟間交替進行。那么我們只需慢慢地更新 G，D 就會一直處于最優解的附近，這種策略類似于 SML/PCD 訓練的方式。

綜上，我們可以描述整個訓練過程，對于每一次迭代：

從真實數據分布 P_data 抽取 m 個樣本

從先驗分布 P_prior(z) 抽取 m 個噪聲樣本

將噪聲樣本投入 G 而生成數據

，通過最大化 V 的近似而更新判別器參數θ_d，即極大化

，且判別器參數的更新迭代式為

以上是學習判別器 D 的過程。因為學習 D 的過程是計算 JS 散度的過程，并且我們希望能最大化價值函數，所以該步驟會重復 k 次。

從先驗分布 P_prior(z) 中抽取另外 m 個噪聲樣本 {z^1,...,z^m}

通過極小化 V^tilde 而更新生成器參數θ_g，即極大化

，且生成器參數的更新迭代式為

以上是學習生成器參數的過程，這一過程在一次迭代中只會進行一次，因此可以避免更新太多而令 JS 散度上升。

轉載于:https://www.cnblogs.com/noahzhixiao/p/10172210.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的GAN 的推导、证明与实现。的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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