文章目錄

• 拉普拉斯變換及其性質(zhì)
• • 1 雙邊拉普拉斯變換的定義
  • 2 收斂域
  • • 2.1 因果信號
    • 2.2 反因果信號
    • 2.3 雙邊信號
  • 3 （因果信號）單邊拉氏變換的定義
  • 4 單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系
  • 5 常見信號的拉普拉斯變換
  • 6 拉普拉斯變換的性質(zhì)
  • • 6.1 線性、尺度變換
    • 6.2 時移、復頻移特性
    • 6.3 時域和復頻域的微積分特性
    • 6.4 卷積定理
    • 6.5 初值、終值定理
  • 7 拉普拉斯反變換

拉普拉斯變換及其性質(zhì)

傅里葉變換：$jw$
拉普拉斯變換：$s=\sigma +jw$

1 雙邊拉普拉斯變換的定義

有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子$e^{?\sigma t}$（$\sigma$為實常數(shù)）乘信號$f(t)$，適當選取$\sigma$的值，使乘積信號$f(t)e^{?\sigma t}$當$t\to \infty$時信號幅度趨近于0 ，從而使$f(t)e^{?\sigma t}$的傅里葉變換存在。

相應的傅里葉逆變換為：

2 收斂域

只有選擇適當?shù)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$\sigma$值才能使積分收斂，信號$f(t)$的雙邊拉普拉斯變換存在。

收斂域：使 $f(t)$ 拉氏變換存在的$\sigma$取值范圍。

2.1 因果信號

因果信號的收斂域在某一條直線之右。

2.2 反因果信號

反因果信號的收斂域在某一條直線之左。

2.3 雙邊信號

雙邊信號的收斂域在兩條直線之間。

結(jié)論：

(1) 對于雙邊拉普拉斯變換而言，$F_b(s)$和收斂域一起，可以唯一地確定$f(t)$。即：

(2) 不同的信號可以有相同的$F_b(s)$，但收斂域不同。

3 （因果信號）單邊拉氏變換的定義

通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣，$t<0$時，$f(t)=0$。從而拉氏變換式寫為
$$F(s)={\int }_{0_{?}}^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{?st}\mathrm{d}t$$

稱為單邊拉氏變換。簡稱拉氏變換。其收斂域一定是$Re[s]>\alpha$，可以省略。

$\epsilon (t)$：單邊，$t$小于零部分$f(t)$值為零。

4 單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系

---

備注：
$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

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當$w=0$時，
$$\underset{\sigma \to 0}{\lim }\frac{\sigma }{{\sigma }^2+{\omega }^2}=0=\pi \delta (\omega )$$

當$w=0$時，極限值為無窮大，等價于沖激函數(shù)$\delta (w)$，面積為$\pi$：
$${\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{\sigma }{{\sigma }^2+{\omega }^2}d\omega =\arctan (\frac{x}{\sigma }){|}_{?\infty }^{+\infty }=\pi$$
即$\pi \delta (w)$。

5 常見信號的拉普拉斯變換

6 拉普拉斯變換的性質(zhì)

6.1 線性、尺度變換

6.2 時移、復頻移特性

6.3 時域和復頻域的微積分特性

我們可以通過求原函數(shù)倒數(shù)的拉氏變換來求原函數(shù)的拉氏變換。

6.4 卷積定理

6.5 初值、終值定理

7 拉普拉斯反變換

直接利用定義式求反變換—復變函數(shù)積分，比較困難。常用的方法 :
（1）查表 ;

（2）利用性質(zhì);

（3） 部分分式展開 ----- 結(jié)合

若象函數(shù)$F(s)$是 $s$ 的有理分式，可寫為

若$m\ge n$ （假分式）, 可用多項式除法將象函數(shù)$F(s)$分解為有理多項式$P(s)+有理真分式$

例如：

$P(s)$的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)($\delta$)及其各階導數(shù)(${\delta }^{\prime }$，${\delta }^{\prime \prime }$…)構(gòu)成。

下面主要討論有理真分式。

部分分式展開法

$$\frac{1}{s?(?\alpha +j\beta )}\to e^{(?\alpha +j\beta )t}$$

$$\frac{1}{s?(?\alpha ?j\beta )}\to e^{(?\alpha ?j\beta )t}$$

由歐拉公式，得到：

$$e^{j\theta }?e^{(?\alpha +j\beta )t}+e^{?j\theta }?e^{(?\alpha ?j\beta )t}$$
$$=e^{?\alpha }(e^{j(\theta +\beta t)}+e^{?j(\theta +\beta t)})$$
$$=2e^{?\alpha }\cos (\beta t+\theta )$$

真分式：


假分式：

中國大學MOOC：信號與系統(tǒng) ，西安電子科技大學，郭寶龍，朱娟娟

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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