坐標(biāo)系基礎(chǔ)知識：

=> 1.1. 從像素坐標(biāo)系(u,v) 到 世界坐標(biāo)系(Xw,Yw,Yw)

這里直接拿上篇博文的結(jié)果，中間省去了其它坐標(biāo)系直接的關(guān)系，直接給出，如下所示：

公式如下：

=> 1.2. 符號規(guī)定( Notation )

為了和?張正友教授?的論文相統(tǒng)一，現(xiàn)在把公式符號統(tǒng)一一下。

=> 1.3. 推導(dǎo)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第一點?: 旋轉(zhuǎn)向量?R?為正交矩陣，所以又以下的性質(zhì)：

第二點?: 就是?S?。它是尺度因子，它的出現(xiàn)只是為了方便運算，而且對于齊次坐標(biāo)，尺度因子不會改變坐標(biāo)值?。

---

=> 2. 正戲

=> 2.1. Step.1 標(biāo)定平面到圖像平面的單應(yīng)性(Homography)

剛開始不知道論文中?Homography?不知道是何方神圣，搜索到了最后這番解釋：

因為張氏標(biāo)定是一種基于平面棋盤格的標(biāo)定，所以想要搞懂張氏標(biāo)定，首先應(yīng)該從兩個平面的單應(yīng)性(Homography)映射開始著手。

單應(yīng)性(Homography)?： 在計算機視覺中被定義為一個平面到另一個平面的投影映射。首先看一下，圖像平面與標(biāo)定物棋盤格平面的單應(yīng)性。

因為標(biāo)定物是平面，所以我們可以把世界坐標(biāo)系構(gòu)造在?Z = 0?的平面上。然后進行單應(yīng)性計算。令?Z = 0?可以將上式轉(zhuǎn)換為如下形式 ( 直接截取論文中的推導(dǎo) ) ：

分析：

H 是一個3x3的矩陣，并且有一個元素作為齊次坐標(biāo)。因此，H有8個未知量待解 ( 可以分析一下，?A?有5個未知量，后面的?[r1,r2,t]?有三個未知量，一共8個) 。

(X,Y)?作為標(biāo)定物的坐標(biāo)，可以由設(shè)計者人為控制，是已知量?。?(u,v)?是像素坐標(biāo)，我們可以直接通過攝像機獲得。一組對應(yīng)的?(X,Y) => (u,v)?我們可以獲得兩組方程。

現(xiàn)在有?8個未知量?待求，所以至少要8個方程。所以至少需要4組對應(yīng)的點。所以有?4組 (X,Y) => (u,v)就可以算出，圖像平面到世界平面的?單應(yīng)性矩陣H?，這也是張正友標(biāo)定采用四個角點的棋盤作為標(biāo)定物的一個原因 (？不知道是否正確) 。

=> 2.2. Step.2 利用約束條件求解內(nèi)參矩陣A

從Step1可知，應(yīng)用4個點我們可以獲得單應(yīng)性矩陣H。但是H是內(nèi)參陣和外參陣的合體。我們想要最終分別獲得內(nèi)參和外參。所以需要想個辦法，先把內(nèi)參求出來。然后外參也就隨之解出了。

上式中的?h1,h2?是通過求解單應(yīng)性矩陣?H?求出來的，所以未知量只剩下?內(nèi)參矩陣A?。?A中含有5個參數(shù)，如果需要完全解出來這5個未知量，則需要?3個不同的單應(yīng)性矩陣H?( 因為?3個不同的單應(yīng)性矩陣H在2個約束條件下可以產(chǎn)生6個方程?) ， 那么如何得到?3個不同的單應(yīng)性矩陣H?呢？ 那就是 3張不同的標(biāo)定平面的照片， 我們大多是通過改變攝像機與標(biāo)定板間的相對位置來獲得不同的標(biāo)定照片。( 如果用2張照片進行標(biāo)定，就要舍去一個內(nèi)參?r=0)

當(dāng)然這只是張正友標(biāo)定法不斷變換標(biāo)定板方位的?第一個原因?。第二個原因?是張正友提到的?最大似然估計?( Maximum-Likelihood Estimation )?( 這個我還得學(xué)習(xí) ) 。

現(xiàn)在開始數(shù)學(xué)課了：

首先令

可以看出?矩陣B?是一個對稱矩陣，有效的元素只有?6個?，所以令一個?6維的向量b?，然后簡化公式?( 就是那兩個約束條件 )

將運算的結(jié)果帶入到兩個約束條件中，可得到方程組：

英文部分也提出了3張圖片的作用 ( 不懂的可以再看看前面的分析 )

應(yīng)用上述公式解出b后，就得到了B，在進行?cholesky分解?就可以得到?攝像機內(nèi)參矩陣A?。

=> 2.3. Step.3 利用內(nèi)參矩陣A求解外參矩陣

已經(jīng)有了內(nèi)參矩陣A，通過下面的公式，就可以解出來，外參矩陣了。

---

=> 3. 總結(jié)

以上就是張正友標(biāo)定法的數(shù)學(xué)原理和推導(dǎo)，但是張正友自己也說這沒有啥實際的物理意義，只是為后面的極大似然參數(shù)估計提供初值。而張正友標(biāo)定中用于提高標(biāo)定精度的極大似然算法，我也在研究當(dāng)中，希望以后可以發(fā)一篇博客。

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的双目标定算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。