在幾個(gè)月以前，曾經(jīng)有一位知乎好友邀請(qǐng)我回答一個(gè)問(wèn)題：“如何證明馬爾可夫矩陣至少存在一個(gè)所有分量均不小于零的特征向量。”當(dāng)時(shí)我思考了大概半個(gè)小時(shí)，給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。事后由該問(wèn)題引發(fā)我至少三度思考，對(duì)于此問(wèn)題，我提出了幾個(gè)猜想，并最終證明、證偽了這些結(jié)論。本文章內(nèi)容均是作者自己的研究成果，如有與其他人暗合之處，純屬巧合。如果有人通知到我，我也會(huì)及時(shí)作出響應(yīng)。

在闡述馬爾可夫矩陣之前，我們先要清楚什么是馬爾可夫矩陣。

定義：若矩陣的任意一個(gè)列向量，所有分量均為非負(fù)數(shù)，并且所有分量的和為1，亦即所有列向量均滿足分量和為1，則稱(chēng)該矩陣為馬爾可夫矩陣。

學(xué)過(guò)概率論的朋友應(yīng)該都知道，馬爾可夫矩陣

可以看作是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即 可以看作是從第 個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到第 個(gè)狀態(tài)的概率，因此顯然有

即某一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到各個(gè)狀態(tài)的總概率為1，且概率永遠(yuǎn)不能小于零，這便是馬爾可夫矩陣定義的由來(lái)，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著重要的意義。

現(xiàn)將馬爾可夫矩陣的若干研究成果羅列如下，隨后給出證明（限于篇幅問(wèn)題，證明的過(guò)程不一定是100%公式化的，但是思想和過(guò)程絕對(duì)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?#xff09;

對(duì)于馬爾可夫矩陣的任意一個(gè)特征值 , 均有

馬爾可夫矩陣所對(duì)應(yīng)的變換不改變向量的分量之和

馬爾可夫矩陣的所有分量和不為零的向量的特征值必然為

馬爾可夫矩陣至少存在一個(gè)所有分量均不小于零的特征向量，并且由上一條立即可知它的特征值為 ，將該向量的分量和歸一化以后得到的向量記為

馬爾可夫矩陣的全體分量和為零的向量構(gòu)成馬爾可夫變換的不變子空間，我們將該子空間記為 , 將空間記為

向量空間可以寫(xiě)成第4條中所述向量 與 的直和，即

對(duì)于任意一個(gè)矩陣 為馬爾可夫矩陣的充分必要條件是將集合 依舊映射到該集合上。

定義 , 為馬爾可夫矩陣的充分必要條件是 存在一個(gè)特征值為 且各個(gè)分量均不小于 的特征向量，并且 將 上的元素依舊映射到 上。

馬爾可夫變換在 上可能存在虧損現(xiàn)象，因此馬爾可夫矩陣存在不能對(duì)角化的情況（后面會(huì)構(gòu)造反例，并陳述反例的構(gòu)造思路）

下面我們來(lái)證明這些結(jié)論：

1.我們先將馬爾可夫矩陣

作轉(zhuǎn)置，再由特征值的圓盤(pán)估計(jì)定理，我們知道以下結(jié)論

而

，因此立即可知

. 其實(shí)這個(gè)定理適用于復(fù)數(shù)矩陣，而復(fù)數(shù)集是一個(gè)二維平面，因此稱(chēng)為圓盤(pán)定理，我們討論的情況是實(shí)數(shù)，其實(shí)更加簡(jiǎn)單。圓盤(pán)定理并不難證明，但限于篇幅這里不作證明，感覺(jué)趣的朋友可以自己思考或者查閱資料。

2.設(shè)

, 則

因此馬爾可夫矩陣不改變向量的分量和。其實(shí)道理很簡(jiǎn)單，因?yàn)榫仃嚨拿恳涣泻途鶠?，用向量

對(duì)列向量進(jìn)行線性組合，顯然不改變向量的分量和。

3.對(duì)于特征向量

, 我們有

其中

是特征值，由上一條我們知道馬爾可夫變換不改變向量的分量和，因此若 的分量之和不為 時(shí)，必然有

4.此條就是當(dāng)初知友提問(wèn)的問(wèn)題，即如何證明馬爾可夫矩陣存在各分量均不小于零的特征向量。我們知道馬爾可夫矩陣所有元素均為非負(fù)，且馬爾可夫變換保證向量的分量和不變，因此在馬爾可夫變換下向量集

的像集依然在該集合內(nèi)部，因此必然存在不動(dòng)點(diǎn)，該不動(dòng)點(diǎn)就是我們要找的特征向量。證明該映射存在不動(dòng)點(diǎn)，如果嚴(yán)格用數(shù)學(xué)語(yǔ)言論述篇幅不小。限于篇幅問(wèn)題，我在這里只詳細(xì)闡述思路，細(xì)節(jié)由感興趣的讀者自行思考或補(bǔ)充。顯然對(duì)于二維空間該集合就是一個(gè)線段，由線段到線段上的連續(xù)映射，顯然存在不動(dòng)點(diǎn)；對(duì)于三維空間，該集合是一個(gè)三角形，三角形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與矩形是相同的，因此只需要證明矩形到矩形的連續(xù)映射存在不動(dòng)點(diǎn)即可。而證明矩形存在映射不動(dòng)點(diǎn)，顯然可先證明存在一條經(jīng)過(guò)映射以后縱坐標(biāo)不變的曲線，而這條曲線經(jīng)過(guò)映射的像又全部在該曲線上，因此必然存在不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)于

維空間也是同理，我們可以用這種思路不斷地降維，最終推出一定存在不動(dòng)點(diǎn)。其實(shí)馬爾可夫矩陣至少存在一個(gè)這樣的特征向量是有實(shí)際意義的，這樣的特征向量表示經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次概率轉(zhuǎn)移最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)處在各各狀態(tài)的概率。

5.首先，分量和為零的全部向量關(guān)于加法和數(shù)乘封閉，因此它是一個(gè)子空間；其次，馬爾可夫變換不改變向量的分量和，因此該子空間是不變子空間。

6.因?yàn)椴蛔冏涌臻g

是 維空間，而馬爾可夫變換又存在一個(gè)各個(gè)分量均不小于零的特征向量 ，它顯然不屬于前者，因?yàn)樗姆至亢筒粸榱?#xff0c;因此必然有

7.首先，必要性顯然，此結(jié)論我們?cè)谧C明第4條時(shí)已經(jīng)用過(guò)。現(xiàn)在證明充分性，只需證明所有元素均不小于零并且所有列向量的分量和為

。我們用反證法，假定 有某一個(gè)元素 . 為了簡(jiǎn)單我們不妨假定 （其他元素小于零也是同理）此時(shí)有

,

這與假設(shè)產(chǎn)生矛盾。假定

的某一個(gè)列向量分量和不為 ，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨設(shè)第 列分量和不為 ，則

，

也與假設(shè)產(chǎn)生矛盾。

8. 由于第6條，任意一個(gè)向量

, 必然有

其中，

. 則

顯然

的充分必要條件是 . 因此第8條成立。

9.本條結(jié)論是困擾我時(shí)間較長(zhǎng)的結(jié)論，此問(wèn)題經(jīng)過(guò)三度思考，最終在某一天回家的路上產(chǎn)生靈感，悟出第7條結(jié)論，從而成功構(gòu)造出不能對(duì)角化的反例。有了第7條結(jié)論，我們只需要構(gòu)造出一個(gè)在集合上

的一個(gè)向內(nèi)收縮的馬爾可夫變換即可。為構(gòu)造出最簡(jiǎn)單直接的反例，我們不妨考察三維的馬爾可夫矩陣與變換（其實(shí)就是考察一個(gè)三角形邊界上的全體向量的變動(dòng)情況，再高一維就是正四面體……），不妨假定特征向量

并假定

上的循環(huán)基為

在基矢

的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為

則特征向量構(gòu)成的矩陣為

,

其逆矩陣為

,

因此有

如此我們便構(gòu)造出了不可對(duì)角化的馬爾可夫矩陣。

我們討論一下向量

. 對(duì)任意的 , 顯然可以被分解為

. 若對(duì)任意的 , 有 且 , 則 可以表示隨機(jī)過(guò)程中的狀態(tài)分布，并顯然有 . 假設(shè)我們?cè)? 選擇一組合適的基矢 使得 在基矢 是約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣

其中

是 的維數(shù). 假設(shè)在基矢向量組 下，

其中

, 這是因?yàn)? . 我們可以用 對(duì) 反復(fù)施加變換

當(dāng)

, 我們有

其中

是 零矩陣。當(dāng) 時(shí), 是發(fā)散的。在這種情況下，如果存在 （為方便假定 ）使得 , 穩(wěn)態(tài)是無(wú)法達(dá)到的。當(dāng) 且 時(shí)， 是發(fā)散的。在這種情況下， 如果存在 , 使得 , 穩(wěn)態(tài)也是無(wú)法達(dá)到的。在穩(wěn)態(tài)可以達(dá)到的情況下，如果對(duì)任意的 , 有 , 最終的穩(wěn)態(tài)顯然是 , 但是如果某個(gè) , 最張的穩(wěn)態(tài)由由初始向量 決定。這是因?yàn)榇藭r(shí)特征值為 的特征子空間維數(shù)大于 , 因此穩(wěn)態(tài)是不唯一的。

最后，希望感興趣的朋友關(guān)注我的知乎專(zhuān)欄數(shù)學(xué)妙談，高等代數(shù)精深簡(jiǎn)明講義，以及公眾號(hào)丞申通匯文化平臺(tái)，私人電話：18612313613（微信同）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的变换上三角矩阵_关于马尔可夫矩阵的一些个人研究成果、思考过程及相关解释...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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