UA OPTI512R 傅立叶光学导论1 为什么光学需要傅立叶变换
UA OPTI512R 傅立葉光學導論1 為什么光學需要傅立葉變換
- Maxwell方程回顧
- Time-Harmonic Field
- Huygens-Fresnel原理
這個系列是我這學期學傅里葉光學導論的筆記了，主要內容是用線性系統、傅里葉變換等工具處理物理光學問題，希望到12月份期末考的時候能拿A啦。第一篇用兩個例子討論的是為什么研究光學需要這些工具。
Maxwell方程回顧
先回顧一下Maxwell方程組，涉及到的重要物理量為
E?:ElectricfieldH?:MagneticfieldD?:ElectricfluxB?:MagneticfluxJ?:Currentdensityρ:Chargedensity\vec E:Electric\ field \\ \vec H:Magnetic\ field \\ \vec D: Electric\ flux \\ \vec B: Magnetic \ flux \\ \vec J: Current \ density \\ \rho: Charge \ densityE:Electric?fieldH:Magnetic?fieldD:Electric?fluxB:Magnetic?fluxJ:Current?densityρ:Charge?density
其中
D?=???E?,B?=μ??H?\vec D = \vec{\vec{\epsilon}}\vec E, \vec B = \vec {\vec {\mu}}\vec HD=?E,B=μ??H
?,μ\epsilon,\mu?,μ分別是permittivity與permeability，它們代表介質的性質，符號上兩個箭頭表示張量，如果?,μ\epsilon,\mu?,μ是與E?,H?\vec E,\vec HE,H無關的量，就稱這種介質為線性（linear，簡記為L）介質；如果?,μ\epsilon,\mu?,μ是對角的、且各自的對角元相等，就稱這種介質為各向同性（isometric，簡記為I）介質；如果?,μ\epsilon,\mu?,μ是與空間無關坐標的，就稱這種介質為同質的（homogeneous，簡記為H）。對于LIH介質，
μ=μ0μr,?=?0?r\mu = \mu_0\mu_r,\epsilon = \epsilon_0\epsilon_rμ=μ0?μr?,?=?0??r?
其中μr,?r\mu_r,\epsilon_rμr?,?r?分別是relative permeability與relative permittivity。
這些物理量之間滿足的方程組為
{?×E?=??B?t:Faraday′sLaw?×H?=?D??t+J?:Ampere′sLaw??B?=0??D?=ρ:Gauss′sLaw\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}:Faraday's\ Law \\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t}+\vec J:Ampere's\ Law \\ \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \nabla \cdot \vec D= \rho: Gauss's\ Law \end{cases}???????????×E=??t?B?:Faraday′s?Law?×H=?t?D?+J:Ampere′s?Law??B=0??D=ρ:Gauss′s?Law?
Maxwell方程組是電磁理論的基礎，當然也就是物理光學的重要基礎之一，在不同情形下可以根據介質與電磁場的source等條件對Maxwell方程修正，比如Source-free（ρ=0,J?=0\rho=0,\vec J=0ρ=0,J=0） LIH介質：
{?×E?=??B?t?×H?=?D??t??B?=0??D?=0\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \nabla \cdot \vec D=0 \end{cases}???????????×E=??t?B??×H=?t?D???B=0??D=0?
這門課程討論的重要就是這類問題。
Time-Harmonic Field
Source-free LIH介質下的Maxwell方程的一類解可以用Time-Harmonic field表示：
E?(r?,t)=Re[E~?(r?)ejwt]\vec E (\vec r,t)=Re[\tilde E^*(\vec r)e^{jwt}]E(r,t)=Re[E~?(r)ejwt]
其中www是角頻率，w=2πfw=2\pi fw=2πf，E~(r?)\tilde E(\vec r)E~(r)表示電場的空間分布，e?jwte^{-jwt}e?jwt表示電場隨時間的震蕩，隨時間與空間的變化可以用兩個因子分別表示，也就是不同空間位置的電場隨時間震蕩的特性是一樣的，這是time-harmonic field的重要特征。
將Time-Harmonic field的表達式代入Maxwell方程中，比如代入Faraday‘s Law中，
ejwt?×E~?(r?)=?B~?(r?)??tejwt=?jwμH~?(r?)ejwte^{jwt}\nabla \times \tilde E^*(\vec r) = -\tilde B^*(\vec r)\frac{\partial}{\partial t} e^{jwt} = -jw\mu \tilde H^*(\vec r)e^{jwt}ejwt?×E~?(r)=?B~?(r)?t??ejwt=?jwμH~?(r)ejwt
這樣就可以把含時項約掉
?×E~?(r?)=?jwμH~?(r?)\nabla \times \tilde E^*(\vec r)=-jw\mu \tilde H^*(\vec r)?×E~?(r)=?jwμH~?(r)
Maxwell方程組中其他幾個方程也可以被類似方法簡化，約去時間項，最后剩下的方程為
?×E~?(r?)=?jwμH~?(r?)?×H~?(r?)=jw?E~?(r?)??E~?(r?)=0??H~?(r?)=0\nabla \times \tilde E^*(\vec r)=-jw\mu \tilde H^*(\vec r)\\ \nabla \times \tilde H^*(\vec r)=jw\epsilon \tilde E^*(\vec r) \\ \nabla \cdot \tilde E^*(\vec r) = 0 \\ \nabla \cdot \tilde H^*(\vec r) = 0?×E~?(r)=?jwμH~?(r)?×H~?(r)=jw?E~?(r)??E~?(r)=0??H~?(r)=0
到這里就很清楚了，這些方程和static problems中的Maxwell方程完全一樣，于是我們可以用Green函數法、正交函數法等一系列標準解法來解。
但是在光學中，通常一個光源發出的光不會是單頻的，也就是在處理光學問題時，應該假設電場是不同頻率光的電場的疊加：
E?(r?,t)=Re[∫?∞+∞E~?(r?,w)ejwtdw]\vec E(\vec r,t)=Re[\int_{-\infty}^{+\infty} \tilde E^*(\vec r,w)e^{jwt}dw]E(r,t)=Re[∫?∞+∞?E~?(r,w)ejwtdw]
當光的頻率有很多的時候，顯然先求解Maxwell方程得到單頻的電場再將所有電場疊加得到光的電場的方法計算量太大了，再加上上面的疊加式其實就是說電場在空間-頻率坐標中的分布就是電場在時空中的分布的傅里葉變換，這就提供了可以簡便計算得到多頻光電場的方法。
Huygens-Fresnel原理
惠更斯原理的思想很簡單，就是在研究波的傳播的時候，可以把波前上的每一點都看成是一個新的點波源，觀察者看到的波形其實就是所有這些點波源發出的波在觀察者所在位置的疊加。雖然聽上去很簡單，但這個原理非常有用，在還沒有Maxwell方程的時候，通過惠更斯原理就可以預測出電磁波的表達式。
比如初始狀態為E0(x′,y′,0)E_0(x',y',0)E0?(x′,y′,0)的電場，經過一段時間后傳播到了(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)處，要計算E(x,y,z)E(x,y,z)E(x,y,z)，根據惠更斯原理，假設(x′,y′,0)(x',y',0)(x′,y′,0)的位置上有一個點光源，它在(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)處電場分布為
E0(x′,y′)ejkrrE_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r}E0?(x′,y′)rejkr?
其中kkk是波數，k=2π/λk=2\pi/\lambdak=2π/λ，
r=(x?x′)2+(y?y′)2+z2r = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}r=(x?x′)2+(y?y′)2+z2?
于是一定有
E(x,y,z)∝??∞+∞E0(x′,y′)ejkrrdx′dy′E(x,y,z) \propto \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r}dx'dy'E(x,y,z)∝??∞+∞?E0?(x′,y′)rejkr?dx′dy′
后來Fresnel修正了這個結果，得到了更準確的表達式
E(x,y,z)=1jλ??∞+∞E0(x′,y′)ejkrrcos?(θ)dx′dy′E(x,y,z) = \frac{1}{j\lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r}\cos(\theta)dx'dy'E(x,y,z)=jλ1???∞+∞?E0?(x′,y′)rejkr?cos(θ)dx′dy′
其中θ\thetaθ是從(x′,y′,0)(x',y',0)(x′,y′,0)到(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)的向量與zzz方向的夾角，
cos?(θ)=zr\cos(\theta) = \frac{z}{r}cos(θ)=rz?
于是
E(x,y,z)=zjλ??∞+∞E0(x′,y′)ejkrr2dx′dy′E(x,y,z) = \frac{z}{j\lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r^2}dx'dy'E(x,y,z)=jλz???∞+∞?E0?(x′,y′)r2ejkr?dx′dy′
記
K(x?x′,y?y′,z,λ)=ejkrr2K(x-x',y-y',z,\lambda)=\frac{e^{jkr}}{r^2}K(x?x′,y?y′,z,λ)=r2ejkr?
這其實是電磁輻射問題中非常常用的一個因子，與距離平方成反比體現了庫侖律，指數項則代表了電磁波在空間中的震蕩，
E(x,y,z)=zjλ??∞+∞E0(x′,y′)K(x?x′,y?y′,z,λ)dx′dy′E(x,y,z) = \frac{z}{j\lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')K(x-x',y-y',z,\lambda)dx'dy'E(x,y,z)=jλz???∞+∞?E0?(x′,y′)K(x?x′,y?y′,z,λ)dx′dy′
這其實就是E0(x′,y′)E_0(x',y')E0?(x′,y′)與K(x?x′,y?y′,z,λ)K(x-x',y-y',z,\lambda)K(x?x′,y?y′,z,λ)的卷積，因此為了從理論上研究電磁波的傳播與初始狀態的關系，也是為了設計更加簡便的數值計算方法，我們都是需要引入卷積理論的。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论1 为什么光学需要傅立叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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