定理2.5

簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的協(xié)方差

$S_{yx}=\frac{1}{n?1}\sum _{i=1}^n(y_i?\bar{y})(x_i?\bar{x})$

是總體協(xié)方差$S_{yx}$的無偏估計(jì)

證明：

對(duì)于總體中每個(gè)單元$Y_i$,引入示性變量$a_i$
$$a_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{若}{Y}_i\text{入樣}\\ 0& \text{若}{Y}_i\text{不入樣}\end{array}$$
由引理2.2可知：$\sum _{i=1}^N{a}_i{Y}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i,E(a_i)=\frac{n}{N},E(a_i^2)=\frac{n}{N},E(a_i{a}_j)=\frac{n(n?1)}{N(N?1)}$
$$\begin{array}{rl}E(s_{yx})& =E\left(\frac{1}{n?1}\sum _{i=1}^n(x_i?\bar{x})(y_i?\bar{y})\right)\\ & =\frac{1}{n?1}E\left(\sum _{i=1}^n(x_i{y}_i?\bar{x}{y}_i?\bar{y}{x}_i+\bar{x}\bar{y})\right)\\ & =\frac{1}{n?1}E\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i?\bar{x}\sum _{i=1}^n{y}_i?\bar{y}\sum _{i=1}^n{x}_i+\sum _{i=1}^n\bar{x}\bar{y}\right)\\ & =\frac{1}{n?1}E\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i?n\bar{x}\bar{y}?n\bar{x}\bar{y}+2n\bar{x}\bar{y}\right)\\ & =\frac{1}{n?1}E\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i?n\bar{x}\bar{y}\right)\\ & =\frac{1}{n?1}E\left[\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i{a}_i^2?n\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\right)\right]\\ & =\frac{1}{n?1}E\left(\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i{a}_i^2?\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\sum _{i=1}^n{y}_i\right)\\ & =\frac{1}{n?1}?\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i{a}_i^2?\frac{1}{n}?\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i+\sum _{i=j}^n{x}_i{y}_i??\\ & =\frac{1}{n?1}?\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i{a}_i^2?\frac{1}{n}?\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i{a}_i^2+\sum _{i=j}^N{X}_i{Y}_i{a}_i{a}_j??\\ & =\frac{1}{n?1}?E(a_i^2)\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?\frac{1}{n}E(a_i^2)\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?\frac{1}{n}E(a_i{a}_j)\sum _{i=j}^n{X}_i{Y}_i?\\ & =\frac{1}{n?1}?\frac{n}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?\frac{n?1}{N(N?1)}\sum _{i=j}^n{X}_i{Y}_i?\\ & =\frac{1}{n?1}\left[\frac{n?1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?\frac{n?1}{N(N?1)}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\sum _{i=1}^N{Y}_i?\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i\right)\right]\\ & =\frac{1}{n?1}\left[\left(\frac{n?1}{N}+\frac{n?1}{N(N?1)}\right)\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?\frac{n?1}{N(N?1)}\sum _{i=1}^N{X}_i\sum _{i=1}^N{Y}_i\right]\\ & =\frac{1}{n?1}\left(\frac{n?1}{N?1}\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?\frac{n?1}{N(N?1)}N\bar{X}?N\bar{Y}\right)\\ & =\frac{1}{N?1}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i{Y}_i?N\bar{X}\bar{Y}\right)\\ & =\frac{1}{N?1}\sum _{i=1}^N(X_i?\bar{X})(Y_i?\bar{Y})\\ & =S_{yx}\end{array}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的定理2.5的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。