相似矩陣有很多性質，如行列式相等、秩相等、矩陣之跡相等、矩陣特征多項式相等、矩陣特征值相等、等等。但是，仔細分析，你會發現這些性質按照所寫順序都是矩陣特征值的弱化條件，也就是說，全都可以看作是特征值的判定；其實，矩陣特征值也是相似的弱化條件（因為除了特征值，還有特征向量尚未考慮!），那么，是不是有更進一步的能夠表征相似的強化條件呢？野心大一點，是不是有能夠直接推出來矩陣相似的完備條件——相似的充分條件！這就需要考慮特征向量了！

我們將從以下兩方面闡述相似：

1.相似矩陣的本質是什么？

2.確定相似矩陣的強化判定條件

3.例題分析

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1.相似矩陣的本質是什么？

相似矩陣定義如下：

設 為 階矩陣，如果有 階可逆矩陣 存在，使得
則稱矩陣 與 相似，記為 。

相似矩陣定義雖然簡單，但是卻讓人無法直觀的感受出來相似到底是什么關系！

先來介紹一下坐標代換公式：

我們知道，對于任意一個 維列向量是包含于 維向量空間（例如三階列向量必然包含于三維向量空間中），取 個線性無關的 維列向量，那么，任意的 維列向量均可由這個 個向量線性表示，稱這 個向量為向量空間的一組基，線性表示的系數為坐標；顯然，選取不一樣的基，坐標不一樣。
實現基變換的矩陣為過渡矩陣 (顯然，過渡矩陣可逆)，例如，設 維向量空間 的一組基為 ，另一組基為，則有
設任一 維列向量 在基 和 的坐標分別是 和
于是
將 代入 中,得
此即為坐標代換公式！

對于

式，你即可以看作是同一個向量在兩組不同基中的坐標變換； ！線性變換是一種“運動”，在這里，你可以機械的認為，就是一個向量變成另一個向量過程中的變換矩陣（具體可查閱如何理解線性代數？）

我們借助以上概念分析相似矩陣！

我們設列向量 和 在基 內的坐標表示分別是 和 ，即
兩向量在基 之中存在線性變換等式
再設列向量 和 在基 內的坐標表示分別是 和 ，即
兩向量在基 之中存在線性變換等式
結合 ，消去所有的坐標與向量，得
式（8）是相似矩陣的定義！

是兩個向量在兩組基內的同一個線性變換！ 為兩組基的過渡矩陣!

所以，兩個相似矩陣指的就是在不同基中的同一個線性變換！

同一個向量在不同坐標系（不同基）中的坐標表示雖然不一樣，但本質上是指的同一個向量；

同一個運動過程（線性變換）在不同坐標系（不同基）中的表示矩陣（相似矩陣）雖然不一樣，但實質上是指的同一個運動過程（線性變換！）（分析那么多，就為了這一句話！！！）——這就是相似矩陣的本質！

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2.確定相似矩陣的強化判定條件

在考研范圍內的相似考察一般分為可對角化的矩陣和不可對角化的矩陣！需要注意的是只要給定具體的矩陣，便可以求出其對應得特征值與特征向量（具體可參照破天學長：“絕境之下”，如何求解矩陣的特征值？）！

• 對于可對角化的矩陣，根據相似矩陣的傳遞性可知，僅需要判斷其是否有相同的特征值即可！
• 而不可對角化的矩陣，由于不可對角化，所以，還需要判定特征向量！

給定不可對角化矩陣 ，假設 ,則 ,有 ，則， ，則，

根據以上推導可知，如果矩陣

，那么， 和 的矩陣特征值必然相等，且對應的特征向量滿足： 對應于特征值 的特征向量為 ， 對應于特征值 的特征向量為 。

但是，判定特征向量需要求出可逆矩陣

，這是很難的！

*不過，通過以上推導，我們可以得到一個強化一點的條件——兩個相似矩陣對應于同一個特征值的特征向量的個數是相等的！！！

毋庸置疑，這是不可對角化矩陣判斷相似性的考點，如此，我們規范判定相似的步驟！我們舉一個例題來介紹一下！

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3.例題分析

例題：和矩陣

相似的矩陣（）

解析：著眼于特征值與特征向量

-特征值相等——矩陣之跡和矩陣之秩相等-對應特征值的特征向量個數相等—— 之秩相等故，按照如下步驟判定相似-1.判定矩陣之跡-2.判定矩陣之秩（判定行列式是否為0）-3.判定特征值（求解特征值）-4.判定之秩

• 的跡是9，然后發現四個選項跡全為9，失效；
• 的行列式為20， 行列式為15， 行列式為20，去掉選項A；
• 的特征值為2、2、5，行列式為2、2、5，失效；
• 單一特征值必有一個特征向量，所以，5不必考慮；二重特征根2，代入，有

，易知 ;

，易知

，易知

，易知

顯然，僅有

;

于是，僅有選擇C。

一般來說，這種選擇題，都會用到判別特征多項式秩的判別！這是考研考察相似的最深層次的考法，希望大家按照這個順序來分析這個題，熟練掌握，那么這就會是一個送分題！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ker矩阵是什么意思_“拨开迷雾”，如何判定矩阵相似？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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