《線性代數》作業
一、選擇題
1．如果D=，則行列式的值應為：
A． 6D B．12D C．24D D．36D
2．設A 為n階方陣，R（A）=r<n,那么：
A．A的解不可逆 B．
C.A中所有r階子式全不為零 D. A中沒有不等于零的r階子式
3．設n階方陣A與B相似，那么：
A．存在可逆矩陣P，使 B．存在對角陣D，使A與B都相似于D
C． D．
4．如果，則等于
A． 6 B． ．-3 D．-6
5．設矩陣，m<n,且R（A）=r,那么：
A．r<m B．r<n
C．A 中r階子式不為零 D．A的標準型為， 其中E為r階單位陣。
6．A為n階可逆矩陣，是的一個特征根，則的伴隨矩陣的特征根之一是：
A． B． C． D．
7．如果有非零解，則應為：。
A． =0 B． =． =2 D． =-2
8．設是n階方陣，且，是的伴隨陣，那么：。
A． B． C． D．
9．設A為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件是：
A． A的列向量線性無關 B． A的列向量線性相關
C． A的行向量線性相關 D． A的行向量線性相關
10．如果有非零解，則應為：。
A． B． C． D．
11．下列命題正確的是____。
A． B．若則
C．設A、B為三角形矩陣，則A+B為三角矩陣 D．
12．矩陣A、B相似的充要條件是____________。
A．A 與B有相同的特征值 B．A與B相似于同一矩陣
C．A與B有相同的特征向量 D．形似于

13、設同階方陣，均可逆，則的逆陣為：
A.A; B.; C.; D…

14、設A 為n階實矩陣，則對于線性方程組（Ⅰ），（Ⅱ），必有：
A、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解。
B、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解。
C、（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解。
D、（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解。

15、設矩陣，（），下列運算結果哪個是n階方陣：_。
A、 B、 C、 D、
16、設向量可由向量組，……線性表示，但不能由向量組（Ⅰ），……
線性表示，記向量組（Ⅱ），……，，則：
A、不能由（Ⅰ）線性表示，也不能由（Ⅱ）線性表示。
B、可由（Ⅰ）線性表示，但不能由（Ⅱ）線性表示。
C、不能由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ）線性表示。
D、可由（Ⅰ）線性表示，也可由（Ⅱ）線性表示。
17、矩陣，，，則下列運算可行的是：
A． ABC B．ACB C．CAB D．BAC
18、設A是n階方陣，其秩R（A）=r<n,那么在A的n個行向量中：
A．任意r個行向量線性無關
B．任意r個行向量就是A的行向量組的一個最大線性無關組
C．必有r個行向量線性無關
D．任意一個行向量可由其它r個行向量線性表示
19、設同階方陣，均可逆，則的逆陣為：
A.A; B.; C.; D…
20、設A 為n階實矩陣，則對于線性方程組（Ⅰ），（Ⅱ），必有：
A、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解。
B、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解。
C、（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解。
D、（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解。
21、已知3維列向量，
則。
A. 4 B. . 2 D. -2
22、設A為3階實對稱矩陣，若對任意三維列向量，有，則。
A. B. =. <0 D. 以上答案都不對
23、設矩陣，（），下列運算結果哪個是n階方陣：____________。
A、 B、 C、 D、
24、設向量可由向量組，……線性表示，但不能由向量組（Ⅰ），……
線性表示，記向量組（Ⅱ），……，，則：
A、不能由（Ⅰ）線性表示，也不能由（Ⅱ）線性表示。
B、可由（Ⅰ）線性表示，但不能由（Ⅱ）線性表示。
C、不能由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ）線性表示。
D、可由（Ⅰ）線性表示，也可由（Ⅱ）線性表示。

二、填空題
1．行列式與它的轉置行列式的值是__________。
2．矩陣的K階子式共有___________;
3．n階方陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A有__________________________________;
4．行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值______________。
5．設，為三階非零矩陣，且，則t=。
6．A、B為n階方陣，若存在可逆矩P，使_________則稱A與B相似。
7．。
8．若矩陣的，則。
9．若方程組僅有零解，則應滿足的條件是。
10．設多項式則中的系數等于________，的系數等于_________。
11．已知，，且與正交，則____________。
12．設是3階方陣，且，則行列式=（ ）
13．矩陣,則的秩是
14．設，則=
15若線性方程組有解，則常量應滿足條件___________。
16.設4階方陣其中都是四元列向量，已知,則行列式=( )
17已知矩陣A=PQ,其中,Q=,則矩陣
18.設,則秩=( )

19、任意方陣總可以分為一個對稱矩陣與一個_______________矩陣之和。
20、設，為三階非零矩陣，且，則t=________________。
21、設對應的齊次方程組 有兩個線性無關的解向量，得伴隨矩陣，則
。
22、A、B為n階方陣，若存在可逆矩P，使_________則稱A與B相似。

23、對于方陣A，若存在方陣B，使得___________________,則稱A為可逆矩陣。
24、設矩陣有n階子式不為零，則方程組只有___________解。
25、設A、B都是矩陣，則
AB能運算的充要條件是_______________________;
26、設是n維向量組，如果存在一組不全為零的數使______________;
則稱向量組線性無關。
27、任意方陣總可以分為一個對稱矩陣與一個_______________矩陣之和。
28、設對應的齊次方程組 有兩個線性無關的解向量，得伴隨矩陣，則
。
29、方陣A可逆的充要條件是__________________。
30、設矩陣的秩為，則齊次線性方程組的基礎解系含有 個線性無關的解向量。
31、對于方陣A，若存在方陣B，使得___________________,則稱A為可逆矩陣。
32、設矩陣有n階子式不為零，則方程組只有___________解。

三、證明題
1．設A是三階方陣，是的伴隨矩陣，A的行列式為求證：．
2．已知A為n階方陣，且，試證A可逆，并求。
3．已知A，B均為n階正交矩陣，且，證明：。
4向量組是方程組(*)的線性無關解向量。
5的一切線性組合，其中，是方程組的全部解
6、設n階行列式試證為等差數列。

四、計算題
1．已知n階方陣A、B，其中，
求。
2．矩陣求.
3．設三階方陣的每行元素之和均為3，且，其中，問
（1）A能否與對角矩陣相似？ （2）求A。
4．計算n階行列式
5．矩陣，求。
6．已知矩陣的特征多項式有重根，問：參數取何值時，A能與對角矩陣相似？
7．計算
8．矩陣求
9．設三階方陣A滿足，，，其中：
，，
（1）證明：A能與對角矩陣相似。
（2）求出A及相似對角矩陣∧。
10．設三階行列式滿足， ，計算。
11．求向量組，，，的一個最大線性無關組，并將其正交化。
12．設若A不能與對角矩陣相似，求參數。
13計算n階行列式

14 計算題
求齊次線性方程組
的基礎解系及通解。
15、計算n階行列式
，其中
16、計算題
求矩陣，使得

17、為何值時，方程組有解。
18、矩陣，求。
19、試用施密特正交化過程，將向量組，，正交規范化。
20、已知線性方程組無解，求。
21、已知線性方程組和有公共解，求a,b.
22、設向量組，，問：為何值時，線性無關。
23、為何值時，方程組有解。
24、試用施密特正交化過程，將向量組，，正交規范化。
25、已知方程組有非零解，求的值，并解此方程組。
26、設向量組，， 問：為何值時，，，線性相關？
27、已知線性方程組無解，求。
28、求向量組，，，的一個最大線性無關組，并將其正交化。

總結

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